Relazioni di equivalenza e d'ordine

Relazione di equivalenza e relazione d'ordine totale o parziale, largo o stretto: scopri le definizioni e le proprietà di queste relazioni con le video-lezioni e gli esercizi svolti.

Relazione di equivalenza, relazione d'ordine totale o parziale, largo o stretto: che cosa sono? Quali proprietà rispettano queste relazioni? Vuoi sapere di più sulle relazioni d'ordine e di equivalenza? Studialo in questa lezione!

In queste video lezioni vediamo:

  • Relazione di equivalenza: qual è la definizione di relazione di equivalenza e di insieme quoziente;
  • Relazione di ordine largo e stretto: quali proprietà rispetta la relazione d'ordine e quanti tipi di relazione d'ordine esistono;
  • Relazione di ordine totale e parziale: cos'è la relazione d'ordine totale e cos'è la relazione d'ordine parziale.

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Prerequisiti per imparare le relazioni di equivalenza e d'ordine

I prerequisiti per imparare le relazioni di equivalenza e d'ordine sono:

Cos'è una relazione di equivalenza

Una relazione si dice di equivalenza se è riflessiva, simmetrica e transitiva. Dato un insieme £$A$£, il sottoinsieme di elementi che sono in relazione di equivalenza tra loro si dice classe di equivalenza £$[a]$£. L'insieme quoziente è l'insieme che ha come elementi le classi di equivalenza. Con una relazione di equivalenza si può ottenere una delle possibili partizioni di un insieme, in cui:

  • Ogni sottoinsieme non è vuoto (nel nostro caso il sottoinsieme è la classe di equivalenza £$[a]$£);
  • Tutti i sottoinsiemi sono disgiunti tra loro;
  • L'unione di tutti i sottoinsiemi è l'insieme di partenza.

Cos'è una relazione d'ordine

La relazione d'ordine in un insieme £$A$£ mette in ordine gli elementi: possiamo stabilire quale elemento "viene prima" e quale "viene dopo" .
Perché questo sia possibile la relazione deve essere:

  • antisimmetrica perché in qualsiasi "ordine" se £$a$£ è prima di £$b$£, allora £$b$£ non può essere prima di £$a$£;
  • transitiva perché la stessa relazione deve mettere in "ordine" più di un elemento, senza contraddirsi: se £$a$£ è prima di £$b$£ e £$b$£ è prima di £$c$£, allora £$a$£ è prima di £$c$£.

Una relazione è di ordine:

  • largo se, oltre ad essere transitiva e antisimmetrica, è anche riflessiva;
  • stretto se, oltre ad essere transitiva e antisimmetrica, è anche antiriflessiva.
Parliamo di ordine:
  • totale (largo o stretto) se, comunque si scelgano due elementi distinti di £$A$£ £$(a_1, a_2)$£, possiamo sempre dire che £$a_1$£ è in relazione con £$a_2$£ o £$a_2$£ è in relazione con £$a_1$£. In questo caso, £$A$£ è un insieme totalmente ordinato;
  • parziale se esiste almeno una coppia di elementi distinti in £$A$£ che non sono confrontabili. In questo caso, £$A$£ è parzialmente ordinato.

Qual è il rapporto tra le relazioni di equivalenza e d’ordine?

Hai visto cos'è una relazione di equivalenza e una relazione d'ordine. Ma a cosa servono? E quale "relazione" c'è tra loro?
Beh il nome aiuta: relazione di equivalenza ci fa venire in mente che gli elementi in relazione sono "praticamente uguali" (o equivalenti), mentre una relazione d'ordine ci permette di "ordinare" (fare una specie di classifica) gli elementi.

Relazioni di equivalenza e d'ordine: esercizi svolti

Ora che sai praticamente tutto sulle relazioni, allenati con questi esercizi svolti sulle relazioni di equivalenza e d'ordine. Come riconoscere se una relazione e di equivalenza o d'ordine? Basta controllare di quali proprietà godono!

Sicuramente deve esserci la proprietà transitiva (questa per forza), ma poi? Simmetrica o antisimmetrica? Allenati con questi esercizi svolti sulle relazioni d'ordine e di equivalenza!

All'interrogazione... relazioni su relazioni!

Tutto bello fin qui, ma poi arriva il momento dell'interrogazione. Cosa mi chiederà il prof? Stai tranquillo! Se hai visto i video e ti sei allenato con gli esercizi sulle relazioni di equivalenza e d'ordine, andrà tutto bene!

Qui ti facciamo vedere alcune domande che potresti trovare in verifica. Riesci a rispondere?

Sfida!

Di che tipo è la relazione tra le app scaricate da Marco e da Andrea? Non avresti mai pensato al legame tra la matematica e la vita di tutti i giorni, vero? Risolvi la sfida sulle relazioni di equivalenza e d'ordine, guarda i video e allenati con gli esercizi.

Esercizi svolti Relazioni di equivalenza e d'ordine

Ecco gli esercizi su Relazioni di equivalenza e d'ordine in ordine di difficoltà crescente, completi di procedimento, spiegazione e soluzione. Ogni esercizio è in forma di domanda con 3 o 4 opzioni di risposta. Gli esercizi sono interattivi e danno feedback immediato. Ogni esercizio spiegato ti aiuta a studiare e ripassare velocemente per l'interrogazione ed il compito su Relazioni e funzioni. Allenati con gli esercizi svolti di matematica, accumula punti e entra in classifica! Completa tutti i livelli di difficoltà dell'esercitazione per migliorare i tuoi voti in Relazioni e funzioni

Esercizi Relazioni di equivalenza e d'ordine - 1

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