Progressioni geometriche

Scopri cosa sono le progressioni geometriche, le relazioni tra i termini di una progressione geometrica e le proprietà delle progressioni geometriche. Guarda la lezione, scopri le formule utili e supera tutti i livelli di esercizi svolti sulle progressioni geometriche!

Appunti

Le progressioni geometriche sono un tipo particolare di successioni numeriche. Come per le progressioni aritmetiche, anche le progressioni geometriche sono definite per ricorsione. C'è quindi una relazione che lega ogni termine con il suo successivo. Vediamo insieme le caratteristiche e le proprietà delle progressioni geometriche.

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Prerequisiti per imparare le progressioni geometriche

Il prerequisito per imparare le progressioni geometriche è:

Cosa sono le progressioni geometriche

Se £$a_{n}$£ è una progressione geometrica, allora la formula, o relazione, che lega un termine con il suo precedente (tranne il primo) è £$a_{n}=q\cdot a_{n-1}$£ dove £$q$£ è un numero fissato che viene chiamato ragione della progressione.

Quindi ogni termine (escluso il primo) è uguale al precedente moltiplicato per una costante. Il segno di £$q$£ ci dà le informazioni sul segno dei termini, infatti:

  • se £$q > 0$£ allora tutti i termini avranno lo stesso segno, uguale a quello del primo termine della progressione;
  • se £$ q < 0$£ i termini avranno segno alterno.

Ovviamente, se £$ q = 0 $£ abbiamo la progressione costante di zeri, che è poco interessante.

Relazione tra i termini di una progressione geometrica

Se conosciamo il primo termine della progressione geometrica e la ragione £$q$£, il termine £$n-$£esimo della progressione £$a_{n} = a_{1} \cdot q^{n-1}$£.

Allo stesso modo, se prendiamo due termini generici di indici £$p $£ e £$r$£ vale la relazione £$a_{p}=a_{r}\cdot q^{p-r}$£.

Proprietà delle progressioni geometriche

Per le progressioni aritmetiche sappiamo calcolare la somma dei primi £$n$£ termini della progressione. Per le progressioni geometriche vale la stessa cosa, ma col prodotto. Quindi il prodotto dei primi £$n$£ termini della progressione geometrica £$a_{n}$£ è £$P_{n}=\sqrt{(a_{1}\cdot a_{n})^n}$£.

Esercizi sulle progressioni geometriche

Ora che hai visto cosa sono le progressioni geometriche e quali sono le loro proprietà, prova a risolvere questi esercizi!

Così potrai sapere se sei pronto per l'interrogazione!

Sfida sulle progressioni geometriche

Prova a risolvere la sfida sulle progressioni geometriche!

Se hai dei dubbi, ricorda che puoi sempre riguardare la lezione e allenarti con gli esercizi!