Successioni numeriche

Scopri le successioni numeriche e come si rappresentano, che cos'è una successione monotona e infine vediamo la successione delle somme.

2019-04-03 09:11:23

Le successioni numeriche sono un particolare tipo di funzioni. In analisi matematica, è interessante capire quali sono gli elementi di una successione e le proprietà.

In questa lezione vedrai:

  • Definizione di successione
  • Rappresentazione delle successioni
  • Successioni monotone
  • Successione delle somme

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Prerequisiti per imparare le successioni numeriche

I prerequisiti per imparare le successioni numeriche sono:

Cos'è una successione

Una successione è una funzione che ha dominio l'insieme £$\mathbb{N}$£ dei numeri naturali, oppure un suo sottoinsieme.

Ad ogni numero naturale £$n$£ del dominio, che chiamiamo indice della successione, associamo il suo valore £$a_n$£ che viene detto termine n-esimo della successione £$a$£.

Viene usata l'espressione £$a_n$£ invece di £$a(n)$£ tipico delle funzioni proprio per distinguere le successioni dalle funzioni con dominio l'insieme £$\mathbb{R}$£ (o un suo sottoinsieme).

Rappresentazione delle successioni

Una successione ha infiniti termini. Possiamo rappresentarli elencandoli uno per uno (rappresentazione per elencazione) ma ha senso farlo solo per i primi termini.
La rappresentazione più comune è detta formula analitica, che è quella che usiamo di solito per le funzioni. Ad esempio, la successione £$a_n=n^2$£ associa ad ogni numero naturale il suo quadrato.

Alcune successioni sono definite per ricorsione, cioè il termine successivo è ottenuto dal precedente seguendo una regola che viene definita. A partire dal primo termine della successione è possibile trovare gli altri seguendo la regola. Un esempio è la successione di Fibonacci: ogni termine è uguale alla somma dei due termini che lo precedono. Basta definire i primi due e troviamo tutti gli altri.

Successioni monotone

Come per le funzioni, anche le successioni possono essere monotone. Una successione è monotona se ciascun termine è maggiore del precedente, e in questo caso sarà monotona crescente, oppure se ogni termine è minore del termine che lo precede, e in questo caso sarà monotona decrescente.

Ovviamente, ci sono successioni che non sono monotone. Possono cioè crescere e poi decrescere o viceversa.

Successione delle somme

Partiamo da una successione £$a_n$£. Cosa succede se sommiamo tutti i suoi termini? Creiamo una nuova successione. Infatti il primo termine della nuova successione sarà uguale ad £$a_{0}$£, il secondo sarà la somma di £$a_{0}$£ e £$a_{1}$£ e così via.

La nuova successione viene chiamata successione delle somme (parziali): ogni termine è uguale alla somma dei primi £$n$£ termini della successione "base". Per indicare questa somma (infinita), usiamo il simbolo di sommatoria £$\sum$£.

La successione delle somme £$s_n$£ ha quindi espressione £$s_{n}=\sum_{k=0}^{n}a_{n}$£.

Principio di induzione matematica

Il principio di induzione matematica è molto importante perché ti permette di dimostrare alcuni teoremi. Ecco come funzione:

  1. si dimostra che una proprietà valga per un certo numero che di solito è £$n=0$£ o £$n=1$£;
  2. si assume (ipotesi di induzione) che la proprietà sia valida per tutti i numeri fino a £$n-1$£. A questo punto bisogna dimostrare che vale anche per £$n$£;
  3. una volta dimostrato che vale anche per £$n$£, siamo sicuri che vale per ogni numero naturale.

Interrogazione sulle successioni

Ecco per te i primi esercizi sulle successioni. Prova a riconoscere come viene rappresentata la successione e anche la rappresentazione della successione delle somme parziali.

Sfida sulle successioni

Prova a risolvere la sfida sulle successioni! Riesci a trovare i termini mancanti della successione?

Se hai dubbi, allenati con gli esercizi sulle successioni!

Esercizi svolti Successioni numeriche

Ecco gli esercizi su Successioni numeriche in ordine di difficoltà crescente, completi di procedimento, spiegazione e soluzione. Ogni esercizio è in forma di domanda con 3 o 4 opzioni di risposta. Gli esercizi sono interattivi e danno feedback immediato. Ogni esercizio spiegato ti aiuta a studiare e ripassare velocemente per l'interrogazione ed il compito su Successioni e progressioni. Allenati con gli esercizi svolti di matematica, accumula punti e entra in classifica! Completa tutti i livelli di difficoltà dell'esercitazione per migliorare i tuoi voti in Relazioni e funzioni

Esercizi Successioni numeriche - 1

Esercizi Successioni numeriche - 2

Esercizi Successioni numeriche - 3

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