Successioni numeriche

Una successione è una funzione che ha dominio l'insieme £$\mathbb{N}$£ dei numeri naturali, oppure un suo sottoinsieme.

Ad ogni numero naturale £$n$£ del dominio, che chiamiamo indice della successione, associamo il suo valore £$a_n$£ che viene detto termine n-esimo della successione £$a$£.

Viene usata l'espressione £$a_n$£ invece di £$a(n)$£ tipico delle funzioni proprio per distinguere le successioni dalle funzioni con dominio l'insieme £$\mathbb{R}$£ (o un suo sottoinsieme).

Una successione ha infiniti termini. Possiamo rappresentarli elencandoli uno per uno (rappresentazione per elencazione) ma ha senso farlo solo per i primi termini.
La rappresentazione più comune è detta formula analitica, che è quella che usiamo di solito per le funzioni. Ad esempio, la successione £$a_n=n^2$£ associa ad ogni numero naturale il suo quadrato.

Alcune successioni sono definite per ricorsione, cioè il termine successivo è ottenuto dal precedente seguendo una regola che viene definita. A partire dal primo termine della successione è possibile trovare gli altri seguendo la regola. Un esempio è la successione di Fibonacci: ogni termine è uguale alla somma dei due termini che lo precedono. Basta definire i primi due e troviamo tutti gli altri.

Come per le funzioni, anche le successioni possono essere monotone. Una successione è monotona se ciascun termine è maggiore del precedente, e in questo caso sarà monotona crescente, oppure se ogni termine è minore del termine che lo precede, e in questo caso sarà monotona decrescente.

Ovviamente, ci sono successioni che non sono monotone. Possono cioè crescere e poi decrescere o viceversa.

Partiamo da una successione £$a_n$£. Cosa succede se sommiamo tutti i suoi termini? Creiamo una nuova successione. Infatti il primo termine della nuova successione sarà uguale ad £$a_{0}$£, il secondo sarà la somma di £$a_{0}$£ e £$a_{1}$£ e così via.

La nuova successione viene chiamata successione delle somme (parziali): ogni termine è uguale alla somma dei primi £$n$£ termini della successione "base". Per indicare questa somma (infinita), usiamo il simbolo di sommatoria £$\sum$£.

La successione delle somme £$s_n$£ ha quindi espressione £$s_{n}=\sum_{k=0}^{n}a_{n}$£.

Il principio di induzione matematica è molto importante perché ti permette di dimostrare alcuni teoremi. Ecco come funzione:

1. si dimostra che una proprietà valga per un certo numero che di solito è £$n=0$£ o £$n=1$£;
2. si assume (ipotesi di induzione) che la proprietà sia valida per tutti i numeri fino a £$n-1$£. A questo punto bisogna dimostrare che vale anche per £$n$£;
3. una volta dimostrato che vale anche per £$n$£, siamo sicuri che vale per ogni numero naturale.

Ecco per te i primi esercizi sulle successioni. Prova a riconoscere come viene rappresentata la successione e anche la rappresentazione della successione delle somme parziali.