Isometrie: traslazione e rotazione

L'isometria è una particolare similitudine in cui il rapporto tra segmenti corrispondenti è uno, cioè sono conservate le distanze. Esistono quattro tipi di isometrie. In questa lezione scopriamo la traslazione e la rotazione.

Fra le isometrie ci sono le traslazioni, le simmetrie assiali, le simmetrie centrali e le rotazioni. Quale è l'equazione di una traslazione, di una simmetria centrale, di una simmetria rispetto all'asse £$x$£ o all'asse £$y$£, o di una rotazione di £$90°$£ con centro nell'origine degli assi? Studia con noi tutte queste particolari trasformazioni!

Con i prossimi video lezione imparerai:

  • Isometrie: cosa sono e quali sono
  • Traslazione: cosa è e quale è l'equazione della trasformazione
  • Rotazione: cosa è e quali sono le equazioni di una rotazione in senso orario e antiorario di £$90°$£

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Prerequisiti per imparare le isometrie

I prerequisiti per imparare le isometrie sono:

Che cos'è un'isometria

Un'isometria è una particolare similitudine in cui il rapporto tra segmenti corrispondenti è uno, cioè sono conservate le distanze.
Esistono 4 tipi di isometrie:

  • la traslazione;
  • la simmetria assiale;
  • la simmetria centrale;
  • la rotazione.

 

Esempi di isometria - Video

Scopri nel video le quattro tipologie di isometrie e vediamo qui le loro equazioni:

Traslazione:

£$\begin{cases} x' = x+a  \\ y'=y+b   \end{cases}$£                                  £$\vec v (a ; b)$£

 

Simmetria assiale:

£$\begin{cases} x' = 2a-x  \\ y'=y  \end{cases}$£                                       £$x=a$£

£$\begin{cases} x' = x  \\ y'=2b-y  \end{cases}$£                                        £$y=b$£

£$\begin{cases} x' = y  \\ y'=x  \end{cases}$£                                                £$y=x$£

£$\begin{cases} x' = -y  \\ y'=-x  \end{cases}$£                                            £$y=-x$£

 

Simmetria centrale:

£$\begin{cases} x' = 2a-x  \\ y'=2b-y  \end{cases}$£                                      £$C(a;b)$£

 

Rotazione:

£$\begin{cases} x' = (x-x_c)cos\alpha -(y-y_c)sin\alpha +x_c  \\ y'=(x-x_c)sin\alpha +(y-y_c)cos\alpha +y_c  \end{cases}$£                        £$C(x_c;y_c)  \alpha$£

Come si riconosce una traslazione

In questo video vedrai che cos'è e come è rappresentata in matematica una traslazione!

Considera un punto £$A(x,y) $£ nel piano cartesiano e un vettore £$\overrightarrow{v}(a,b) $£.

Un vettore è caratterizzato da:

  • un modulo o intensità (sua lunghezza);
  • una direzione (la retta su cui poggia il vettore);
  • un verso, che indica l'orientamento.

La traslazione di vettore £$\overrightarrow{v}$£ è la trasformazione geometrica che associa al punto £$ A(x;y) $£ il punto £$ A'(x';y') $£ del piano cartesiano che coincide con la punta del vettore £$\overrightarrow{v}$£.
I punti £$A$£ e £$A'$£ sono quindi gli estremi del vettore £$\overrightarrow{v}$£.

La traslazione di vettore £$\overrightarrow{v}$£ si indica con: £$ \tau_v= \begin{cases} x'=x+a \\ y'=y+b \end{cases}$£.

Trovi gli esercizi su questi argomenti nella lezione successiva.

Che cosa sono le rotazioni

Considera un punto £$P$£, un punto £$O$£ e un angolo £$\alpha$£.
La rotazione di centro £$O$£ e angolo £$\alpha$£ è l'isometria che associa a £$P$£ il punto £$P'$£ in modo da avere:

  • £$PO = P'O$£;
  • £$O$£ vertice dell'angolo e centro di rotazione;
  • l'angolo £$P\hat{O}P'$£ congruente ad £$\alpha$£.

Le formule generali di questa trasformazione utilizzano le funzioni goniometriche seno e coseno. Vedrai quindi un caso particolare: quello della rotazione di un angolo retto con centro nell'origine degli assi.
Considera il punto £$P(x;y)$£ e ruotalo con centro l'origine £$O(0;0)$£ e di un angolo £$\alpha=90°$£.Il punto £$P'$£ avrà coordinate diverse a seconda che la rotazione sia in senso orario o antiorario:

  • In senso antiorario: £$ R_{0,90°}= \begin{cases} x'=-y \\ y'=x \end{cases}$£;
  • In senso orario: £$ R^o_{0,90°}= \begin{cases} x'=y \\ y'=-x \end{cases}$£.

Trovi gli esercizi su questi argomenti nella lezione successiva.

Rotazioni con centro diverso dall’origine

Nel caso in cui la rotazione sia di un angolo α qualsiasi, le sue equazioni sono:

£$\begin{cases}x'= x\cos\cos\alpha -y\ \sin\sin\alpha \\ y'=x\sin\sin\alpha + y\cos\cos\alpha \end{cases}$£   

Nel caso in cui la rotazione abbia un centro C qualsiasi di coordinate C (£$x_C;y_C$£), le sue equazioni sono:

£$\begin{cases} x'=(x-x_C)\cos\cos\alpha  -(y-y_C ) \sin\sin\alpha +x_C \\ y'= (x-x_C ) \sin\sin\alpha  + (y-y_C) \cos\cos\alpha  +y_C \end{cases}$£   

Se, date le equazioni di una rotazione, dovessimo determinare le equazioni del centro, considerando che il centro di rotazione è l’unico punto unito della trasformazione, dovremmo procedere con il calcolo ponendo x'=x e y'=y.

Se osserviamo la prima equazione, prendendo il coefficiente della x e l’opposto del coefficiente della y, possiamo determinare l’angolo di rotazione.

 

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