Il cerchio e la circonferenza: cosa sono e come si definiscono
Il cerchio e la circonferenza sono due elementi fondamentali nello studio della matematica e, in particolare, della geometria. Spesso confuse tra loro, queste due figure geometriche condividono un legame inscindibile, eppure mantengono delle distinzioni chiave che le rendono molto diversi l’uno dall’altra. Dall’antica Grecia ai moderni satelliti GPS, le circonferenze e i cerchi hanno costantemente influenzato il progresso dell’umanità, dando forma al nostro modo di capire e navigare il mondo che ci circonda.
Mentre la circonferenza è semplicemente l’insieme dei punti equidistanti da un punto fisso chiamato centro, il cerchio rappresenta l’area delimitata da questa circonferenza. In questo articolo scopriremo insieme cosa sono, come si definiscono e quali sono le loro caratteristiche!
- Luoghi geometrici: circonferenza e cerchio
- Definizione di cerchio e circonferenza: cosa sono
- Le parti della circonferenza: corda, diametro, arco
- Angoli al centro e angoli alla circonferenza
- Circonferenza per tre punti non allineati
- Le parti del cerchio: segmento, settore e corona circolare
- Gli elementi del cerchio e della circonferenza
- Come disegnare un cerchio?
Luoghi geometrici: circonferenza e cerchio
Vediamo alcune definizioni importanti:
Un luogo geometrico è l’insieme di tutti e soli i punti del piano che godono di una certa proprietà.
La circonferenza è il luogo dei punti di un piano che hanno la stessa distanza da un punto fisso detto centro.
Possiamo calcolare la lunghezza di una circonferenza di raggio £$r$£ usando questa formula: £$C=2 \pi r$£ dove £$\pi=3,1415…$£
I raggi sono tutti quei segmenti che hanno per estremi il centro ed un punto della circonferenza.
La corda è un segmento che ha per estremi due punti di una circonferenza.
Il diametro è una corda che passa per il centro della circonferenza.
Il cerchio è l’insieme dei punti che stanno dentro ad una circonferenza, cioè la cui distanza dal centro della circonferenza è minore o uguale al raggio.
Possiamo calcolare l’area delimitata dai punti di una circonferenza usando questa formula: £$ A=\pi r^2 $£.
Definizione di cerchio e circonferenza: cosa sono
Intorno a noi ci sono moltissimi oggetti rotondi. Sono cerchi! Sono circonferenze! Ma queste due parole vogliono dire la stessa cosa? In geometria, circonferenza e cerchio hanno significati diversi.
La circonferenza è l’insieme dei punti che sono tutti ad una stessa distanza da un punto fisso chiamato centro. Ogni segmento che unisce il centro ad un punto della circonferenza si chiama raggio.
Il cerchio, invece, è l’insieme dei punti che stanno all’interno di una circonferenza (se vogliamo dirlo in modo più matematico: il cerchio è la parte di piano delimitata da una circonferenza).
Distingui tutti gli oggetti che ti circondano: quali sono cerchi? E quali circonferenze?
Le parti della circonferenza: corda, diametro, arco
Per la circonferenza non parliamo di lati, diagonali, angoli… come abbiamo fatto per tutti gli altri poligoni. Ma possiamo riconoscere degli elementi particolari.
Una corda è un segmento che unisce due punti della circonferenza. Possiamo tracciare infinite corde, di lunghezze diverse. Il diametro è una corda che passa per il centro della circonferenza ed è la corda massima, cioè la più lunga di tutte. La lunghezza del diametro è doppia di quella del raggio.
Un arco, invece, è una parte di circonferenza delimitata da due punti. Se scegliamo 2 punti su una circonferenza, troviamo sempre due archi. Se i due punti che scegliamo sono gli estremi di un diametro, abbiamo trovato due semicirconferenze.
Indichiamo un arco di estremi £$ A $£ e £$ B $£ con una linea curva sopra £$ \overgroup{AB} $£. Diciamo che la corda £$ AB $£ è sottesa all’arco £$ \overgroup{AB} $£.
Vediamo ancora alcune proprietà di corde e archi che possono essere utili:
- se due corde sono congruenti, allora si trovano alla stessa distanza dal centro;
- se due archi sottendono due corde congruenti, allora anche gli archi sono congruenti.
Angoli al centro e angoli alla circonferenza
L’angolo al centro è un angolo che ha come vertice il centro della circonferenza e come lati i due raggi.
L’angolo alla circonferenza è un angolo convesso che ha come vertice un punto della circonferenza e come lati due corde, oppure una corda e una retta tangente alla circonferenza nel vertice dell’angolo.
Circonferenza per tre punti non allineati
Teorema: Per tre punti non allineati passa una e una sola circonferenza.
Per dimostrare il teorema dobbiamo congiungere i tre punti e considerare gli assi dei due segmenti che si vengono a formare. A partire da questa costruzione dobbiamo dimostrare prima l’esistenza della circonferenza e poi l’unicità. La circonferenza esiste perché l’intersezione dei due assi, per le proprietà dell’asse di un segmento e per la proprietà transitiva dell’uguaglianza è il centro della circonferenza. Invece per l’unicità basta dimostrare che l’intersezione dei due assi è unica e quindi anche il centro della circonferenza.
Le parti del cerchio: segmento, settore e corona circolare
Segmento circolare
Settore circolare
Corona circolare
Il cerchio come tutte le figure in geometria può essere suddiviso in parti. Ciascuna di queste parti ha un nome che lo definisce.
Se tracciamo una corda dividiamo il cerchio in due parti chiamate segmenti circolari. Se la corda che tracciamo è un diametro, i due segmenti circolari che troviamo sono uguali e sono dei semicerchi. Un segmento circolare è ciascuna delle due parti in cui un cerchio è diviso da una corda.
Come si chiama invece una fetta di cerchio? La parte di cerchio delimitata da due raggi e dall’arco di circonferenza compreso tra questi si chiama settore circolare. In una circonferenza di centro £$ O $£ disegniamo due raggi £$ OA $£ e £$ OB $£: indichiamo il settore circolare delimitato dall’arco £$ \overgroup{AB} $£ con i suoi tre vertici, come facciamo con i triangoli, ma utilizzando una linea curva, in questo modo £$ \overgroup{AOB} $£.
Due circonferenze con lo stesso centro, ma raggi di misura diversa, delimitano una corona circolare. Oggetti che ricordano una corono circolare sono il salvagente, oppure una ciambella.
Gli elementi del cerchio e della circonferenza
L’arco è una parte della circonferenza compresa tra due punti. Viene indicato scrivendo il nome dei due estremi sotto un archetto oppure con £$l$£.
La semicirconferenza è un particolare arco che ha come estremi quelli di un diametro. Possiamo calcolare la sua lunghezza con £$\pi r$£, ovvero la metà della lunghezza della circonferenza.
Anche la circonferenza è un arco, e £$ C=2 \pi r =$£ (misura angolo al centro in radianti)•raggio.
Allora la lunghezza di un arco è il prodotto tra £$ \theta $£, la misura in radianti dell’angolo al centro che insiste sull’arco e il raggio della circonferenza: £$l= \theta r$£ .
Il semicerchio è l’insieme dei punti che stanno dentro ad una semicirconferenza. Possiamo calcolare la sua area come £$ \frac{\pi r^2}{2}$£, cioè la metà dell’area del cerchio.
Il settore circolare è la parte di cerchio compresa tra due raggi ed un arco. Il cerchio e il semicerchio sono particolari settori circolari.
Quindi, partendo dalla formula per trovare l’area del cerchio si trova quella dell’area del settore circolare: £$ A_{settcirc}=\frac{\theta}{2}r^2 $£ con £$\theta $£ ampiezza dell’angolo al centro in radianti.
Il segmento circolare è la parte di cerchio delimitata da uno o due archi di circonferenza e da una o due corde parallele:
- a una base se compreso tra una corda ed un arco;
- a due basi se compreso tra due corde parallele e due archi, che hanno come estremi gli estremi delle due corde.
Lo stesso vale “al contrario”: se gli archi sono uguali allora sono uguali gli angoli al centro e i settori circolari corrispondenti e lo stesso vale se i settori circolari sono uguali.
Come disegnare un cerchio?
Quante volte ci troviamo in difficoltà nel disegnare un cerchio?
Che disastro arrivare a scuola e scoprire di aver dimenticato il compasso a casa, proprio nel giorno in cui la prof inizia un nuovo argomento: la circonferenza e il cerchio.
Pagine e pagine di esercizi con circonferenze, raggi, diametri, cerchi, ma non riusciamo a disegnare niente di meglio di un ovale. E tutti si chiedono: “come faceva Giotto a disegnare un cerchio perfetto?”
Non è impossibile disegnare un cerchio perfetto con quello che abbiamo a disposizione nel nostro astuccio o anche solo utilizzando le nostre mani!
Il modo più facile è ricorrere a degli oggetti rotondi che possiamo trovare nel nostro astuccio: un rotolino di nastro adesivo, oppure il temperino per un cerchio più piccolo.
Non hai niente di tutto questo?
Puoi provare a riprodurre un compasso con un semplice filo. Ad un’estremità leghi la matita e tieni ferma l’altra estremità con un dito regolando la lunghezza del raggio. Voilà! Altrimenti procurati una graffetta (di solito i professori ne hanno sempre una), punta una matita da una parte della graffetta e con la matita all’altra estremità… Ecco che riesci a disegnare un bel cerchietto!
Non c’è neanche una graffetta?!? Allora bastano le tue mani! Per fare un cerchio più grosso, appoggia il polso sul foglio, tienilo ben saldo e fai girare il foglio… Ecco un cerchio quasi perfetto!
Prova a scoprire altri trucchi per diventare come Giotto!
Formula per la lunghezza della circonferenza
Per calcolare la lunghezza di una circonferenza £$ C $£ di raggio £$ r $£ usiamo la formula:
$$C = 2r · π = 2\pi r$$
Formula inversa:
$$r = \dfrac{C}{2\pi}$$
Formula per l’area del cerchio
Per calcolare l’area £$ A $£ di un cerchio di raggio £$ r $£ usiamo la formula:
$$A = \pi r^2$$
Formula inversa:
$$r = \sqrt{\dfrac{A}{\pi}}$$