Poligoni regolari inscritti e circoscritti

Caratteristiche e dimostrazione del teorema dei poligoni regolari con la circonferenza inscritta e circoscritta. Scopri la circonferenza divisa in archi congruenti dai vertici di un poligono inscritto regolare o dai punti di tangenza di un poligono circoscritto regolare. Impara il teorema del caso generale e quello dell'esagono regolare.

Appunti

Che proprietà hanno i poligoni regolari inscritti e circoscritti? 

In questa video lezione imparerai:

  • Poligoni regolari e circonferenza inscritta e circoscritta: teorema sui poligoni regolari inscritti e circoscritti ad una circonferenza con dimostrazione
  • Circonferenza divisa in archi congruenti: teoremi e dimostrazioni sugli esagoni e sugli archi di circonferenza

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Prerequisiti per imparare i poligoni regolari inscritti e circoscritti

I prerequisiti per imparare i poligoni regolari inscritti e circoscritti sono:

Poligoni regolari e circonferenza

Il poligono regolare è una figura geometrica con tutti i lati e gli angoli uguali.
Possiamo dire, quindi, che è equilatero e equiangolo.
In un poligono equilatero possiamo individuare 3 elementi caratteristici:

  1. l'apotema: raggio della circonferenza inscritta;
  2. il raggio: raggio della circonferenza circoscritta;
  3. il centro: centro di entrambe le circonferenze.

Teorema: Un poligono regolare può essere inscritto e circoscritto ad una circonferenza. Entrambe le circonferenze hanno lo stesso centro O.
Consideriamo due vertici consecutivi e tracciamo le bisettrici dei due angoli corrispondenti. Applichiamo ora i teoremi sulle bisettrici visti nei punti notevoli dei triangoli e possiamo così applicare il secondo criterio di congruenza dei triangoli. Questo ragionamento è valido per tutti i vertici consecutivi, quindi il poligono è circoscrivibile.
Per dimostrare che è anche inscrivibile usiamo il teorema sugli assi del segmento viste con i punti notevoli del triangolo e le proprietà dei triangoli isosceli.

Circonferenza divisa in archi congruenti

Una circonferenza può essere divisa in 3 o più archi uguali dai vertici di un poligono inscritto regolare o dai punti di tangenza di un poligono circoscritto regolare.
È suddivisa in archi congruenti dai vertici dei poligoni regolari inscritti perché i segmenti che sottendono questi archi sono i lati del poligono: i lati sono congruenti tra loro, quindi sottendono archi congruenti.
Dimostriamo ora che anche i punti di tangenza dei poligoni regolari circoscritti suddividono la circonferenza in archi congruenti.

Teorema: I punti di tangenza dei poligoni regolari circoscritti suddividono la circonferenza in archi congruenti.
La dimostrazione sfrutta il teorema sulla circonferenza e l'asse del segmento.

Teorema: Se inscriviamo un esagono regolare in una
circonferenza i suoi lati sono uguali al raggio della circonferenza.
La dimostrazione sfrutta il teorema precedente e le definizioni e proprietà di triangoli isosceli ed equilateri.

Interrogazione sui quadrilateri inscritti e circoscritti

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