I punti notevoli di un triangolo inscritto e circoscritto

In geometria esistono dei punti, detti punti notevoli, che ci permettono di trovare la circonferenza inscritta in una figura geometrica o quella circoscritta. Impara i punti notevoli dei triangoli. Impara a riconoscere il circocentro, l'incentro, l'excentro, l'ortocentro e il baricentro.

Appunti

Come si chiama il punto di incontro degli assi di un triangolo? E quello delle altezze, o bisettrici, o mediane? Come viene divisa la mediana di un triangolo dal suo baricentro? Studia con noi il circocentro, l'incentro e l'excentro, l'ortocentro e il baricentro e le loro proprietà con le relative dimostrazioni!

In questa video lezione imparerai:

  • Circocentro: definizione e teoremi sul circocentro con dimostrazione
  • Incentro e excentro: definizioni e teorema sulle bisettrici con dimostrazione
  • Ortocentro: definizione e teorema sulle bisettrici con dimostrazione
  • Baricentro: definizione, teorema sull'incontro delle mediane e sulla proprietà che rispettano con dimostrazione

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Prerequisiti per imparare i punti notevoli di un triangolo inscritto e circoscritto

I prerequisiti per imparare i punti notevoli di un triangolo inscritto e circoscritto sono:

Che cos'è il circocentro

Teorema: Gli assi dei lati di un triangolo si incontrano in un unico punto.
Per la dimostrazione applichiamo il teorema dell'esistenza di una circonferenza per tre punti e la definizione di asse del segmento.

Il circocentro è il centro della circonferenza circoscritta, ovvero il punto d'incontro degli assi dei lati di un triangolo.

Corollario: Ogni triangolo è inscrivibile in una circonferenza che ha come centro il circocentro del triangolo.

Differenza tra incentro e excentro

Teorema: Le bisettrici degli angoli interni di un triangolo si incontrano in un unico punto.
Per dimostrare il teorema tracciamo prima due bisettrici del triangolo, ragioniamo sull'ampiezza degli angoli per capire che non possono essere parallele e quindi si incontrano in un punto. Per dimostrare che anche la terza bisettrice passa per quel punto tracciamo gli assi dei lati e ragioniamo sulle loro proprietà.

L'incentro è il centro della circonferenza inscritta, ovvero è il punto d'incontro delle bisettrici di un triangolo.

Corollario: Ogni triangolo è circoscrivibile a una circonferenza che ha come centro l'incentro del triangolo.

L'excentro è il punto di incontro delle bisettrici di due angoli esterni di un triangolo con la bisettrice dell'angolo interno non adiacente agli angoli.

Che cos'è l'ortocentro

Teorema: Le altezze di un triangolo o i loro prolungamenti si incontrano in un unico punto.

Per la dimostrazione sfruttiamo il teorema degli assi appena dimostrato. Lo applichiamo ad un triangolo che costruiamo tracciando tutte le parallele dei lati passanti per il vertice opposto del triangolo di partenza. I vertici del primo triangolo sono punti medi di quello costruito e così gli assi di quest'ultimo sono altezze del primo!

L'ortocentro è il punto di incontro delle altezze o dei loro prolungamenti.

Che cos'è il baricentro

Teorema: Le mediane di un triangolo si incontrano in un punto. Ogni mediana resta divisa dal baricentro in due parti e quella a cui appartiene il vertice del triangolo è il doppio dell'altra.

Disegniamo due mediane e dimostriamo la seconda parte del teorema applicando il teorema di Talete e le proprietà dei parallelogrammi. Per concludere dimostriamo che anche la terza mediana rispetta questa proprietà, e che passa per il punto di intersezione delle altre due mediane perché è l'unico punto che divide ogni segmento in due parti, una doppia dell'altra.

Il baricentro è il punto di incontro delle mediane di un triangolo.

Attenzione! Nei triangoli equilateri le bisettrici, le mediane, le altezze e gli assi si sovrappongono… quindi lo stesso punto rappresenta l'ortocentro, il baricentro, l'incentro e il circocentro.

Cosa potrebbero chiederti nell'interrogazione

Sai qual è la differenza tra incentro e baricentro? E che cos'è il circocentro? Metttiti alla prova rispondendo alle domande dell'interrogazione sui punti notevoli del triangolo che trovi in questo video!

Sfida sui punti notevoli di un triangolo

Una torta con sopra disegnato un triangolo: quest'ultimo deve essere posizionato in modo tale che i suoi vertici siano tutti sulla circonferenza. Ma come capisci qual è il centro della torta? Risolvi la sfida sui punti notevoli di un triangolo e poi corri ad allenarti con gli esercizi!