Posizioni reciproche tra retta e circonferenza e tra due circonferenze

Scopri i punti in comune tra retta e circonferenza. Impara a riconoscere una retta esterna, tangente o secante ad una circonferenza. Impara le cinque condizioni necessarie e sufficienti per stabilire la posizione reciproca di due circonferenze: interne, secanti, esterne, tangenti internamente o esternamente.

Appunti

Quanti punti possono avere in comune una retta ed una circonferenza? Quando una retta è esterna, interna o tangente ad una circonferenza in funzione della distanza dal centro? E quali sono le posizioni reciproche fra circonferenze in funzione dei raggi? Quale è la differenza fra due circonferenze tangenti internamente o esternamente? Tutti questi argomenti ti sono utili sia sia in geometria euclidea che in geometria analitica: studiamoli insieme!

In questa video lezione imparerai:

  • Punti in comune fra una retta e una circonferenza: teorema e dimostrazione sull'intersezione retta-circonferenza
  • Retta e circonferenza esterne ad una circonferenza: definizione, teorema e dimostrazione su retta e circonferenza esterna, definizione di circonferenze esterne
  • Retta e circonferenza tangenti ad una circonferenza: definizione, teorema, corollario e dimostrazione su retta e circonferenza tangenti, definizione di circonferenze tangenti
  • Retta e circonferenza secanti una circonferenza: definizione, teorema e dimostrazione su retta e circonferenza secanti, definizione di circonferenze secanti
  • Tangenti ad una circonferenza da un punto esterno: teorema e dimostrazione
  • Condizioni necessarie e sufficienti per stabilire la posizione reciproca di due circonferenze: come capire in funzione dei raggi se due circonferenze sono interne, secanti, esterne o tangenti internamente ed esternamente

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Prerequisiti per imparare posizioni reciproche di rette e circonferenze

I prerequsiti per imparare le posizioni reciproche tra retta e circonferenza e tra due circonferenze sono:

Punti in comune tra retta e circonferenza

Una retta e una circonferenza che si intersecano non possono avere più di due punti in comune.

Questo teorema si dimostra per assurdo, ciò significa che neghiamo la tesi e partendo da lì arriviamo ad una contraddizione. Supponiamo quindi che retta e circonferenza si incontrino in 3 punti diversi, siccome i tre punti appartengono anche alla retta devono essere allineati. Riproduciamo la costruzione che abbiamo fatto per l'esistenza della circonferenza per tre punti e, per il teorema delle perpendicolari a due rette parallele possiamo concludere che l'ipotesi di partenza è assurda!

Retta e circonferenza esterne ad una circonferenza

Una retta ed una circonferenza sono esterne se non hanno alcun punto in comune.

Una retta £$ a $£ è esterna alla circonferenza se la distanza di £$ a $£ dal centro è maggiore del raggio £$ r $£.

Per dimostrare questo teorema uniamo il centro ad un qualsiasi punto della retta diverso dalla proiezione ortogonale del centro. Sfruttiamo le proprietà dei triangoli rettangoli per cui l'ipotenusa è maggiore di ognuno dei cateti. Siccome questa proprietà vale per ogni punto della retta, il teorema è dimostrato.

Due circonferenze sono esterne quando tutti i punti di una delle due circonferenze sono esterni all'altra, e viceversa.

Rette e circonferenze tangenti ad una circonferenza

Una retta ed una circonferenza sono tangenti se hanno un solo punto in comune.

Una retta £$a$£ è tangente alla circonferenza se la distanza di £$a$£ dal centro è uguale al raggio £$r$£.

La dimostrazione è uguale a quella del teorema precedente. Uniamo il centro ad un qualsiasi punto della retta diverso dalla proiezione ortogonale, per la proprietà dei triangoli rettangoli l'unico punto che ha distanza uguale al raggio risulterà essere la proiezione ortogonale!

Vale anche il viceversa di questo teorema.

Corollario: Una retta £$a$£ è tangente ad una circonferenza se e solo se il raggio è perpendicolare ad £$a$£ nel punto di tangenza.

La dimostrazione usa il teorema precedente ed il concetto di distanza.

Due circonferenze sono tangenti quando hanno in comune un solo punto:

  • Sono tangenti internamente quando il centro di una è interno all'altra.
  • Sono tangenti esternamente quando il centro di una è esterno all'altra.

Retta e circonferenza secanti ad una circonferenza

Una retta ed una circonferenza sono secanti se hanno due punti in comune.

Una retta £$a$£ è secante la circonferenza se la distanza di £$a$£ dal centro è minore del raggio £$r$£.

In questa dimostrazione si sfrutta ancora la proprietà dei triangoli rettangoli per cui l'ipotenusa è maggiore dei cateti, ma la costruzione geometrica è diversa dalle precedenti. Consideriamo la proiezione ortogonale del centro sulla retta £$a$£ e da questo punto riportiamo sulla retta un segmento di misura pari al raggio della circonferenza. Uniamo il secondo estremo di questo segmento con il centro e questa sarà l'ipotenusa di un triangolo rettangolo. Applichiamo a questo triangolo la proprietà già ricordata. Ragioniamo sul segmento pari al raggio che unisce un punto interno ad uno esterno della circonferenza, quindi...la interseca in un unto. Ripetiamo il ragionamento per un segmento dalla parte opposta della proiezione ortogonale e la dimostrazione è conclusa!

Due circonferenze sono secanti quando hanno due punti in comune.

Tangenti ad una circonferenza da un punto esterno

Date due rette tangenti ad una circonferenza rispettivamente nei punti £$A$£ e £$B$£, che hanno un punto in comune £$P$£ esterno alla circonferenza, i segmenti £$PA$£ e £$PB$£ sono uguali.

Per dimostrare questo teorema colleghiamo i punti di tangenza con il centro, e con il punto £$P$£. Per il corollario delle rette tangenti si formano due triangoli rettangoli, e possiamo concludere applicando il quarto criterio di congruenza dei triangoli rettangoli.

Posizioni reciproche tra due circonferenze

Dobbiamo distinguere 5 condizioni necessarie e sufficienti affinché due circonferenze siano:

  1. Interne (una interna all'altra): la distanza tra i centri deve essere più piccola della differenza dei raggi;
  2. Secanti: la distanza tra i centri deve essere più piccola della somma dei raggi e più grande della loro differenza;
  3. Esterne: la distanza tra i centri deve essere più grande della somma dei raggi;
  4. Tangenti esternamente: la distanza tra i centri deve essere uguale alla somma dei raggi;
  5. Tangenti internamente: la distanza tra i centri deve essere uguale alla differenza dei raggi.

Cosa potrebbero chiederti nell'interrogazione

Ti senti preparato per l'interrogazione di domani? Prova a fare un test rispondendo alle domande della nostra interrogazione sulle posizioni reciproche tra retta e circonferenza e tra due circonferenze!

Sfida sulle posizioni reciproche tra circonferenze

Devi preparare una torta a più piani secondo un certo schema. Ogni piano è una circonferenza ovviamente! Come sarà la tua torta vista dall'alto una volta conclusa? Scoprilo provando a risolvere la sfida sulle posizioni reciproche tra circonferenze!