Equivalenza ed estensione della superficie dei poligoni

Una superficie piana limitata è una regione del piano limitata da una linea chiusa oppure da due o più linee chiuse che non si intersecano.

L'estensione o area di una superficie è un concetto molto intuitivo: l'estensione di una superficie ci dice quanto spazio occupa nel piano.

Due superfici sono equivalenti se hanno la stessa estensione (o area), ovvero se occupano lo stesso spazio sul piano.
La proprietà di due superfici di essere equivalenti soddisfa 3 caratteristiche:

• è riflessiva: ogni superficie è equivalente a sé stessa;
• è simmetrica: se una superficie è equivalente all'altra, allora anche la seconda è equivalente alla prima;
• è transitiva: se una superficie è equivalente ad un'altra, che è equivalente ad una terza, allora la prima è equivalente alla terza.

L'equivalenza tra superfici, poiché gode di queste proprietà, è una relazione di equivalenza.

Mettiamo ora in evidenza una proprietà che ci sarà utile in seguito: Figure congruenti sono anche tra loro equivalenti.
Attenzione! La differenza tra i due concetti non è subito "visibile"!
Due figure sono:

• congruenti quando una si può ottenere dall'altra mediante un movimento rigido nel piano (ad esempio una traslazione, una rotazione o una simmetria);
• equivalenti se hanno la stessa estensione (o area), ovvero se occupano lo stesso spazio sul piano.

Se prendiamo due figure piane, le loro superfici possono essere sommate o sottratte l'una all'altra:

• Per sommare due superfici: aggiungiamo allo spazio sul piano occupato da una lo spazio occupato dall'altra.
• Per sottrarre due superfici: togliamo allo spazio occupato dalla superficie più grande lo spazio occupato da quella più piccola.

Valgono due proprietà:

1. Le superfici che sono ottenute come somma o differenza di superfici equivalenti sono equivalenti
2. Una superficie non può essere equivalente a una sua parte (postulato di De Zolt), essendo la superficie totale, per definizione, più grande di ogni sua parte.

Due poligoni sono equicomposti o equiscomponibili se sono somme di poligoni congruenti.
Immaginiamo di dividere un poligono in poligoni più piccoli.
Se due poligoni di partenza sono divisi in poligoni più piccoli congruenti tra loro, allora sono detti poligoni equicomposti.
Possiamo quindi dire che due poligoni equicomposti sono equivalenti perché sono somma di poligoni più piccoli congruenti tra di loro.

Cosa ti chiederà la prof domani nell'interrogazione sull'equivalenza e l'estensione di superfici? In questo video trovi alcune domande che potrebbero captarti domani! Prova a rispondere e poi corri ad allenarti con gli esercizi!