Equivalenza tra poligoni: teoremi e dimostrazioni

Impara a dimostrare l'equivalenza tra poligoni: tra due parallelogrammi, tra triangoli e parallelogrammi, tra triangoli e trapezi e tra triangoli e poligoni circoscritti ad una circonferenza.

Equivalenza fra due parallelogrammi, fra triangoli e parallelogrammi, fra triangoli e trapezi o fra triangoli e poligoni in generale.

Quali sono gli enunciati dei teoremi e le dimostrazioni? Dopo aver studiato la definizione di poligoni equivalenti siamo pronti per vedere i teoremi principali!

In questa video lezione vedrai:

  • Equivalenza parallelogrammi: teorema e dimostrazione sull'equivalenza dei parallelogrammi
  • Equivalenza parallelogramma e triangolo: teorema e dimostrazione
  • Equivalenza triangolo e trapezio: teorema e dimostrazione
  • Equivalenza triangolo e poligono circoscritto a una circonferenza: teorema e dimostrazione del caso del pentagono, generalizzazione del teorema

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Prerequisiti per imparare l'equivalenza tra poligoni

I prerequisiti per imparare l'equivalenza tra poligoni sono:

Un parallelogramma è equivalente a...

Teorema: Se due parallelogrammi hanno congruenti le basi e le altezze corrispondenti, allora sono equivalenti.
Per dimostrare il teorema sovrapponiamo le basi dei due parallelogrammi. Si evidenziano così due triangoli ed un trapezio. I triangoli sono congruenti per le proprietà dei parallelogrammi ed il primo criterio di congruenza. Concludiamo la dimostrazione ragionando sulla differenza di poligoni equivalenti.

Poiché il rettangolo è un particolare parallelogramma, allora vale anche:
Se un parallelogramma e un rettangolo hanno congruenti le basi e le altezze relative, allora sono equivalenti.

Teorema: Un triangolo è equivalente a un parallelogramma che ha altezza congruente a quella del triangolo e base congruente a metà di quella del triangolo.
La dimostrazione completa è in allegato. Sfrutta la definizione di equivalenza e le formule per calcolare l'area di un triangolo (£$ A= \frac{b \cdot h}{2} $£) e di un parallelogramma (£$ A=b \cdot h$£).

Un triangolo è equivalente a...

Teorema: Un trapezio è equivalente a un triangolo se la sua altezza è congruente a quella del triangolo e la somma delle due basi è congruente alla base del triangolo.
La dimostrazione completa è in allegato. Sfrutta la definizione di equivalenza e le formule per calcolare l'area di un triangolo (£$ A= \frac{b \cdot h}{2} $£) e di un trapezio (£$ A=\frac{(B+b) \cdot h}{2}$£).

Teorema: Un poligono circoscritto a una circonferenza è equivalente a un triangolo che ha base congruente al perimetro del poligono e altezza congruente al raggio della circonferenza
La dimostrazione è costruttiva, colleghiamo ogni vertice del poligono con il centro e ragioniamo sull'equivalenza dei triangoli che abbiamo così ottenuto.

Un caso particolare è quello dei poligoni regolari. Poiché sappiamo che ogni poligono regolare è sempre circoscrivibile a una circonferenza, il teorema diventa:
Un poligono regolare è equivalente a un triangolo che ha base congruente al perimetro del poligono e altezza congruente all'apotema.
Attenzione! L'apotema è il raggio della circonferenza inscritta in un poligono regolare.

Cosa potrebbero chiederti nell'interrogazione

Ora che hai studiato come verificare se un certo poligono è equivalente o meno ad un'altro non ti resta che prepararti per la verifica o l'interrogazione: prova a rispondere alle domande che trovi in questo video. Se hai qualche dubbio riguarda i video!

Sfida: equivalenza tra poligoni

Quando un triangolo e un rettangolo sono equivalenti? Prova a risolvere la sfida sulle equivalenza tra poligoni. Troppo facile? Allora vai ad allenarti con gli esercizi!

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