Operazioni con segmenti e angoli

Impara a riconoscere e utilizzare le operazioni con i segmenti e con gli angoli, i diversi tipi di angoli: angolo acuto, retto, ottuso, complementare e supplementare. Scopri cosa dice il Teorema degli angoli complementari e il Teorema degli angoli opposti al vertice.

Operazioni con i segmenti e con gli angoli. Come si fanno? Che tipi di angoli esistono? E poi l'importante teorema degli angoli opposti al vertice. Come lo dimostriamo? Vediamo di rispondere a queste importanti domande!

In questa video lezione impariamo:

  • Operazioni con i segmenti: come si confrontano? Come si fa la somma e la differenza tra due segmenti? Quando un segmento è multiplo o sottomultiplo di un'altro?
  • Operazioni con gli angoli: come si confrontano? Come si fa la somma e la differenza tra due angoli? Quando un angolo è multiplo o sottomultiplo di un'altro?
  • Tipi di angoli: definizione di angolo retto, acuto, ottuso, supplementare, complementare
  • Teorema degli angoli opposti al vertice: cosa vuol dire che due angoli sono opposti al vertice? Due angoli opposti al vertice sono congruenti?

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Prerequisiti per imparare le operazioni con segmenti e angoli

I prerequisiti per imparare le operazioni con segmenti e angoli sono:

Come si fanno le operazioni con i segmenti

Per confrontare due segmenti dobbiamo sovrapporli, facendo coincidere un loro estremo:

  • sono congruenti se anche il secondo estremo coincide: £$AB \cong CD$£;
  • non sono congruenti se il secondo estremo non coincide: £$AB>CD$£ oppure £$AB$£;

La somma di due segmenti adiacenti è un segmento che ha per estremi gli estremi non comuni.
Se i due segmenti non sono adiacenti, per sommarli basta trascinarli in modo rigido fino a farli diventare adiacenti (sono segmenti congruenti a quelli di partenza e adiacenti tra di loro): £$AB+BC=AC$£.

Un segmento £$b$£ è multiplo del segmento £$a$£ se congruente alla somma di £$n$£ segmenti £$a$£ (o congruenti ad £$a$£), con £$n>1$£. Quindi £$b=n\cdot a$£.

Il segmento £$a$£ è sottomultiplo di £$b$£, infatti £$a=\frac{b}{n}$£ (£$n>1$£ ci assicura che non stiamo dividendo per £$0$£).
Il punto medio di un segmento è quel punto che lo divide a metà (in due segmenti congruenti).
Il punto medio di un segmento esiste sempre ed è unico.

La differenza tra 2 segmenti £$AB$£ e £$AC$£ (con £$AB≥AC$£) è il segmento £$BC$£ che, addizionato ad £$AC$£, dà £$AB$£.
Quindi £$AB- AC=BC$£ e £$BC+AC=AB$£.

Come si fanno le operazioni con gli angoli

Per confrontare due angoli dobbiamo sovrapporli, in modo che coincidano i loro vertici e un lato. se anche il secondo lato coincide sono congruenti se no, non sono congruenti e uno dei due angoli è maggiore dell'altro.

La somma di due angoli consecutivi £$\alpha $£ e £$\beta$£ è un angolo £$\gamma$£ che ha per lati i lati non comuni.
Se i due angoli non sono consecutivi, basta sostituirli con i due angoli consecutivi, congruenti a quelli di partenza.

Un angolo £$\beta$£ è multiplo dell'angolo £$\alpha$£ se congruente alla somma di £$n$£ angoli £$\alpha$£ (o congruenti ad £$\alpha$£), con £$n>1$£.

Dalla relazione precedente possiamo dire che £$\alpha$£ è sottomultiplo di £$\beta$£, cioè £$ \alpha = \frac{\beta}{n}$£ (£$n>1$£ ci assicura che non stiamo dividendo per £$0$£).

La bisettrice di un angolo è la semiretta uscente dal vertice che divide l'angolo in due angoli congruenti. La bisettrice di un angolo esiste sempre ed è unica.

La differenza tra 2 angoli £$\alpha$£ e £$\beta$£ (con £$\alpha \ge \beta $£) è l'angolo che, addizionato a £$\beta $£, dà £$\alpha$£.

Quanti tipi di angoli esistono

Un angolo si chiama:

  • retto se è metà di un angolo piatto;
  • acuto se è £$ < $£ di un angolo retto;
  • ottuso se è £$ > $£ di un angolo retto e £$ < $£ di un angolo piatto.

Due angoli sono:

  • supplementari se la loro somma è un angolo piatto;
  • complementari se la loro somma è un angolo retto.

Teorema degli angoli complementari: se due angoli sono complementari di uno stesso angolo, allora sono congruenti.
Dimostriamo il teorema utilizzando la proprietà transitiva della congruenza dei triangoli.

Teorema degli angoli opposti al vertice

Due angoli si dicono opposti al vertice se i lati di un angolo sono i prolungamenti dei lati dell'altro. 

Teorema degli angoli opposti al vertice: Se due angoli sono opposti al vertice, allora sono congruenti.

Per dimostrarlo dobbiamo costruire due angoli opposti al vertice e considerare l'altro angolo che si forma tra questi due. Entrambi gli angoli sono quindi supplementari a uno stesso angolo quindi sono congruenti.

Cosa potrebbero chiederti nell'interrogazione

Ora che sai fare le operazioni con i segmenti e con gli angoli sei prontissimo per l'interrogazione di domani!

Magari le domande del prof saranno le stesse di quelle che trovi nel video qui a fianco!

Sfida sulle operazioni con i segmenti

Aiuta Hansel e Gretel a decifrare il messaggio datogli da una vecchia signora. Sicuramente c'entrano le operazioni con i segmenti e il punto medio di un segmento! Hai trovato subito la soluzione? Allora continua ad allenarti con gli esercizi!

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