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Rapporti e proporzioni tra grandezze

Impariamo il rapporto tra due grandezze omogenee A e B, ovvero la misura di A se scegliamo B come unità di misura (campione). Impariamo la proporzione tra quattro grandezze omogenee A, B, C, D, che sono in proporzione se il rapporto tra le prime due è uguale al rapporto tra le ultime due. Impara a riconoscere le grandezze direttamente proporzionali e le grandezze inversamente proporzionali.

Cosa è una proporzione? E una grandezza direttamente o inversamente proporzionale? In questa lezione studiamo le relazioni tra grandezze omogenee.

In questa video lezione imparerai:

  • Rapporti e proporzioni tra grandezze: definizione e teorema sul rapporto fra grandezze omogenee
  • Grandezze direttamente proporzionali: definizione e spiegazione
  • Grandezze inversamente proporzionali: definizione e spiegazione

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Prerequisiti per imparare rapporti e proporzioni tra grandezze

I prerequisiti per imparare rapporti e proporzioni tra grandezze sono:

Rapporti e proporzioni tra grandezze

Iniziamo a studiare il rapporto tra due grandezze omogenee £$A$£ e £$B$£, ovvero la misura di £$A$£ se scegliamo £$B$£ come unità di misura (campione).

Esiste un teorema che dice che il rapporto £$\frac{A}{B}$£tra due grandezze omogenee è uguale al rapporto tra le misure di £$A$£ e £$B$£ rispetto a una qualsiasi unità di misura.
Scegliamo £$U$£ come unità di misura.
Se la misura di £$A$£ rispetto a £$U$£ è £$a$£, vale £$A=aU$£ e se £$B$£ misura £$b$£, vale £$B=bU$£.

Diciamo che quattro grandezze omogenee £$A$£, £$B$£, £$C$£, £$D$£, sono in proporzionese il rapporto tra le prime due è uguale al rapporto tra le ultime due, cioè se:£$\frac{A}{B}=\frac{C}{D} $£.

Possiamo scrivere anche £$A:B=C:D$£.
£$A$£ e £$C$£ si chiamano antecedenti; £$B$£ e £$D$£ conseguenti. £$A$£ e £$D$£ sono gli estremi della proporzione; £$B$£ e £$C$£ sono i medi.
Una proporzione è continua se i due medi sono uguali: £$P:Q=Q:R$£
In questo caso £$Q$£ si chiama medio proporzionale.

Grandezze proporzionali

Due grandezze £$A$£ e £$B$£ omogenee sono direttamente proporzionali se il loro rapporto è costante, cioè esiste un numero £$k$£ tale che £$\frac{A}{B}=k$£.
Possiamo anche scrivere £$A=kB$£ e dire che £$A$£ è direttamente proporzionale a £$B$£.
Attenzione! In pratica, se due grandezze sono direttamente proporzionali, quando una raddoppia (o si dimezza), raddoppia (o si dimezza), anche l'altra.

Due grandezze £$A$£ e £$B$£ omogenee sono inversamente proporzionali se il loro prodotto è costante: £$AB=k$£.
Attenzione! In pratica, se £$A$£ raddoppia, £$B$£ dimezza; se £$A$£ triplica, £$B$£ si riduce a un terzo, e così via…

Cosa potrebbero chiederti nell'interrogazione

Cerca di rispondere nel modo corretto alle domande dell'interrogazione si rapporti tra grandezze e sulle grandezze direttamente e inversamente proporzionali!

Sfida sulle grandezze direttamente e inversamente proporzionali

Quale proporzionalità c'è tra l'altezza e la larghezza delle spalle del principe che un giorno diventerà il re della Geometria? Altezza e larghezza sono grandezze direttamente o inversamente proporzionali? Scoprilo leggendo la sfida e la sua soluzione!