Rapporti tra circonferenza, triangoli e poligoni regolari

In una circonferenza iscritta in un triangolo la misura del raggio è uguale al rapporto tra l'area del triangolo e il semiperimetro: £$ r=\dfrac{A}{p}$£

Per dimostrare questa formula possiamo scomporre il triangolo £$ABC$£ in tre triangolini unendo i vertici con il centro £$O$£ della circonferenza. In questo modo, l'area è la somma delle tre aree, ma i triangolini hanno tutti la stessa altezza, uguale al raggio.

In una circonferenza circoscritta al triangolo per trovare la misura del raggio £$R$£ possiamo usare la formula

£$R=\dfrac{a \cdot b \cdot c}{4A}$£

Per dimostrare questa formula applichiamo il primo criterio di similitudine dei triangoli, possiamo farlo ragionando sulle proprietà dei triangoli inscritti in una circonferenza ed i teoremi delle corde di una circonferenza.

I solidi regolari possono sempre essere inscritti o circoscritti ad una circonferenza. Usando i risultati di prima, possiamo sempre calcolare i lati dei poligoni regolari conoscendo il raggio £$r$£ della circonferenza iscritta o il raggio £$R$£ della circonferenza circoscritta. Ecco le formule più utili.

Triangolo equilatero: £$ l= R \sqrt{3}=2r\sqrt{3}$£:
possiamo dimostrare questa formula con le due formule precedenti.

Quadrato: £$l=R\sqrt{2}=2r$£:
la dimostriamo ricordando la formula della diagonale e ragionando sulla circonferenza inscritta in un quadrato.

Esagono: £$l=R=\frac{2 \sqrt{3}}{3}r $£:
anche questa formula possiamo dimostrarla ragionando sulla circonferenza inscritta nell'esagono e sulle proprietà dei triangoli equilateri.

Ora che hai visto come trovare i raggi delle circonferenze inscritte e circoscritte ai triangoli e come calcolare la misura dei lati dei poligoni regolari inscritti e circoscritti non ti resta che prepararti per l'interrogazione di domani!