Primo criterio di similitudine dei triangoli

Due triangoli sono simili se hanno gli angoli congruenti e i lati opposti agli angoli tra loro proporzionali.

Il simbolo ≈ indica la similitudine.
Chiamiamo corrispondenti (o omologhi) gli angoli congruenti o i loro vertici o i lati opposti.

Per ottenere un triangolo simile ad un altro basta applicare (ovvero comporre) prima un'omotetia e poi un'isometria o viceversa.
In questo modo sono preservate le ampiezze degli angoli (che sono invarianti per trasformazioni omotetiche e isometriche), mentre l'applicazione dell'omotetia rende proporzionali tra loro i lati.
La similitudine è una relazione di equivalenza: è simmetrica, riflessiva e transitiva.

Trovi gli esercizi su questi argomenti nella lezione successiva.

Primo criterio di similitudine: Due triangoli sono simili se e solo se hanno due angoli congruenti.
Dimostriamo che gli angoli sono congruenti sfruttando il teorema della somma degli angoli interni. Rimane ora da dimostrare che i lati opposti ad un dato angolo sono proporzionali. Se i due triangoli hanno due lati uguali la dimostrazione si conclude per il secondo criterio di congruenza dei triangoli (essendo congruenti sono anche simili!). Se invece i lati sono diversi supponiamo che uno sia maggiore dell'altro, nel triangolo con il lato maggiore tracciamo un segmento parallelo di misura uguale al lato dell'altro triangolo. Applichiamo poi il teorema di Talete e dimostriamo così che sono proporzionali, come dice la tesi!

Trovi gli esercizi su questi argomenti nella lezione successiva.