Il primo criterio di similitudine dei triangoli
Il primo criterio di similitudine dei triangoli è un principio fondamentale della geometria che stabilisce le condizioni affinché due triangoli siano considerati simili.
Questa similitudine, che va oltre la mera uguaglianza delle forme, implica che tutti gli angoli corrispondenti dei due triangoli siano congruenti e i lati corrispondenti siano proporzionali. Il primo criterio, noto anche come criterio AAA (Angolo-Angolo-Angolo), afferma che se due triangoli hanno gli angoli corrispondenti congruenti, allora i triangoli sono simili.
Criteri di similitudine dei triangoli? Oltre ai criteri di congruenza dei triangoli esistono anche quelli di similitudine, sono tre e iniziamo a studiare enunciato e dimostrazione del primo.
Cosa sono le similitudini
Due triangoli sono simili se hanno gli angoli congruenti e i lati opposti agli angoli tra loro proporzionali.
Il simbolo ≈ indica la similitudine.
Chiamiamo corrispondenti (o omologhi) gli angoli congruenti o i loro vertici o i lati opposti.
Per ottenere un triangolo simile ad un altro basta applicare (ovvero comporre) prima un’omotetia e poi un’isometria o viceversa. In questo modo sono preservate le ampiezze degli angoli (che sono invarianti per trasformazioni omotetiche e isometriche), mentre l’applicazione dell’omotetia rende proporzionali tra loro i lati. La similitudine è una relazione di equivalenza: è simmetrica, riflessiva e transitiva.
La similitudine dei triangoli implica che tutte le proporzioni dei lati corrispondenti tra i due triangoli sono uguali e che gli angoli corrispondenti sono congruenti. Tuttavia, a differenza della congruenza, la similitudine non richiede che i triangoli abbiano la stessa dimensione; richiede solo che abbiano la stessa forma. Questo significa che uno dei triangoli può essere una versione ridimensionata dell’altro.
Primo criterio di similitudine
Primo criterio di similitudine: Due triangoli sono simili se e solo se hanno due angoli congruenti.
Dimostriamo che gli angoli sono congruenti sfruttando il teorema della somma degli angoli interni. Rimane ora da dimostrare che i lati opposti ad un dato angolo sono proporzionali. Se i due triangoli hanno due lati uguali la dimostrazione si conclude per il secondo criterio di congruenza dei triangoli (essendo congruenti sono anche simili!).
Se invece i lati sono diversi, supponiamo che uno sia maggiore dell’altro, nel triangolo con il lato maggiore tracciamo un segmento parallelo di misura uguale al lato dell’altro triangolo. Applichiamo poi il teorema di Talete e dimostriamo così che sono proporzionali, come dice la tesi!
Sfida sulle similitudini
Sfida:
Soluzione:
Sei in gelateria: tra un cono da 1,5 euro e uno da 3 euro non cambia l’ampiezza dell’angolo della punta, ma il lato obliquo raddoppia di lunghezza: è raddoppiata anche la base, cioè il lato dove appoggi il gelato? Prova a risolvere la sfida usando un criterio di similitudine!
Trovi gli esercizi su questi argomenti nella lezione successiva.