Simulazione 22 Aprile 2015 - Problema 1

La parte più importante quando si affronta il problema della seconda prova dell'esame di maturità è proprio la scelta di quale problema svolgere.
Abbiamo pensato di aiutarti! Qui troverai una breve guida su come verrà valutata la prova e come scegliere il problema.

Sei il responsabile della gestione del settore “Curva Nord” dell’impianto sportivo della tua città e devi organizzare tutti i servizi relativi all’ingresso e all’uscita degli spettatori, nonché alla sicurezza e alla assistenza agli spettatori stessi. La forma del settore sotto la tua gestione è una porzione di corona circolare.
Tenendo presente che le normative di sicurezza emanate dal Comune prevedono un indice di affollamento di £$3,25 \ persone/m^2$£, e che il 9,5% della superficie della “Curva Nord” è inagibile in quanto necessita di lavori di manutenzione.

Determina la capienza massima £$N_{MAX}$£ attuale del settore “Curva Nord”, approssimata alle centinaia.

La Polizia Municipale propone di aprire i cancelli di ingresso un’ora prima dell’inizio della manifestazione sportiva. È necessario non aprirli con troppo anticipo per limitare i costi, ma anche evitare un afflusso troppo intenso, per motivi di sicurezza: la velocità massima di accesso degli spettatori non deve essere superiore a 350 ingressi al minuto. In base alle osservazioni degli anni precedenti, sai che l’andamento del numero di spettatori, aprendo gli ingressi un’ora prima della manifestazione, segue una certa curva.

Esprimendo il tempo t in minuti, determina il polinomio £$p(t)$£ (di terzo grado) che meglio riproduce questo andamento, ipotizzando che il numero di spettatori sia 0 all'apertura dei cancelli di ingresso (£$t=0$£) e sia pari al numero massimo consentito £$N_{MAX}$£ dopo un'ora e che la velocità di accesso sia 0 al momento dell'apertura iniziale degli ingressi e sia ancora 0 dopo un'ora quando l'afflusso termina e il settore è riempito completamente. Verifica che la funzione rispetti il vincolo di sicurezza sulla massima velocità di accesso allo stadio.

Al termine della manifestazione gli spettatori defluiscono dall'impianto; in base alle osservazioni degli anni scorsi ogni minuto esce dall'impianto il 5% degli spettatori presenti all'interno nel minuto precedente.

Determina la funzione che meglio rappresenta il deflusso degli spettatori e indicando con £$t=0$£l'apertura dei cancelli e con £$t_f$£ (da determinare) l'istante in cui, durante il deflusso, nell'impianto restano meno di 100 spettatori, disegna il grafico della funzione che rappresenta il numero di spettatori presenti nell'impianto nell'intervallo £$[0,t_f]$£. Ipotizza che l'impianto sia riempito alla massima capienza e che la manifestazione sportiva duri un'ora. Determina inoltre la massima velocità di deflusso degli spettatori nell'impianto.

Devi organizzare i servizi di assistenza e ristoro per gli spettatori, sulla base del numero medio di persone nell'impianto.

Determina il numero medio di spettatori presenti nell'impianto, nell'intervallo di tempo dall'istante £$t=0$£ (apertura dei cancelli) all'istante £$t=t_f$£.