Nella seconda prova di matematica alla maturità, devi svolgere cinque quesiti (esercizi brevi) su dieci. Qui trovi la soluzione del quesito 1 della simulazione della seconda prova di maturità del 29 aprile 2016.
Ecco la soluzione del quesito 1 del 29 aprile.
La scelta dei cinque quesiti da svolgere nella seconda prova di maturità è fondamentale.
In questa lezione, trovi la soluzione del quesito 1 della simulazione del 29 aprile 2016:
Per risolverlo, ti suggeriamo di ripassare come calcolare il volume dei solidi di rotazione.
Determinare il volume del solido generato dalla rotazione attorno alla retta di equazione £$y=3$£ della regione di piano delimitata dalla curva di equazione £$y=x^3 -x+3$£ e dalla retta stessa.
Dobbiamo trovare il volume del solido generato dalla rotazione della curva £$y=x^3-x+3$£ attorno alla retta orizzontale £$y=3$£.
La prima cosa da fare è trovare i punti d'intersezione tra la curva e la retta attorno alla quale avviene la rotazione:
\[\left\{ \begin{array}{l}y = {x^3} - x + 3\\y = 3\end{array} \right.\;;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - x = 0\\y = 3\end{array} \right.\;;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \vee x = - 1 \vee x = 1 \\y = 3\end{array} \right.\]
Ora noi sappiamo come calcolare il volume del solido ottenuto dalla rotazione intorno all'asse £$x$£, ma in questo caso la rotazione è attorno una retta parallela all'asse £$x$£. Quindi, per usare quella formula, dobbiamo traslare la nostra curva in modo che il nostro nuovo asse sia la retta £$y=3$£. In pratica, ci basta traslare verso l'alto di £$+3$£ la curva:
\[\left\{ \begin{array}{l}x' = x\\y' = y - 3\end{array} \right.\;;\;\;{\textrm{l'inversa è }}\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}x = x'\\y = y' + 3\end{array} \right.\]
Allora, la retta £$y=3$£ viene traslata in £$y=0$£ mentre la curva iniziale £$y=x^3-x+3$£ diventa (dopo la traslazione) £$y=x^3-x$£.
Per risolvere il quesito, ci basta calcolare il volume generato dalla rotazione della cubica di equazione £$y=x^3-x$£ attorno all'asse £$x$£, per £$x\in\left[-1,1\right]$£ che sono i due punti di intersezione con l'asse.
Vediamo che la funzione £$y=x^3-x$£ è dispari, cioè simmetrica rispetto all'origine, quindi il volume è il doppio di quello che si ottiene limitando l'intervallo a £$\left[0,1\right]$£. Allora calcoliamo l'integrale usando la formula £$V=\pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2dx$£
\[Volume = 2 \cdot \pi \int_0^{1 } {\left( {{x^3} - {\kern 1pt} x} \right)^2\;dx} = 2 \cdot \pi \int_0^{1 } {\left( {{x^6} - 2{\kern 1pt} {x^4} + {\kern 1pt} {x^2}} \right)\;dx} = \]
\[ = 2\pi \,\left[ {\frac{{{x^7}}}{7} - \frac{{2{x^5}}}{5} + \frac{{x^3}}{3}} \right]_{x = 0}^{x = 1 } = \frac{{16}}{{105}}\pi \]
