£$b$£) la seconda richiesta del quesito è nella sostanza equivalente alla prima. Invece di avere £$n=20$£ "prove" indipendenti abbiamo £$n=500$£ e dobbiamo calcolare la probabilità che ci siano "più di £$50$£ ammalati". Il procedimento è equivalente a quello del punto £$a)$£. Ora abbiamo la variabile aleatoria £$X$£ che segue la distribuzione binomiale £$X \sim (500, 0,\!15)$£. Abbiamo
$$P(X> 50)=1-\sum_{k=0}^{50}\binom{500}{k}\cdot(0,15)^k\cdot(0,85)^{500-k}$$
Il calcolo manuale di questa espressione però è abbastanza lungo. Conviene applicare l'approssimazione della distribuzione binomiale con la normale standard.
Ma come si fa? Se £$X$£ è la variabile aleatoria con distribuzione binomiale con parametri £$n$£ e £$p$£ (£$n$£ è il numero di ripetizioni dell'esperimento, £$p$£ la probabilità di successo in un singolo esperimento), la media e la varianza di £$X$£ sono rispettivamente £$n\kern1pt p$£ e £$n\kern1pt p\kern1pt (1-p)$£. Questi elementi ci servono per approssimarla con una variabile aleatoria (continua) normale standard £$Z$£ che ha come densità la funzione £$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2}$£.
Se £$n$£ è abbastanza grande (almeno, £$n\geq30$£) e £$n\kern1pt p\kern1pt (1-p)$£ non è troppo piccolo (almeno 10) allora la variabile "normalizzata"
$$Y=\frac{X-n\kern1pt p}{\sqrt{n\kern1pt p\kern1pt (1-p)}}$$
e £$Z$£ sono approssimativamente distribuite nello stesso modo, nel senso che se £$a$£, £$b$£ sono due numeri reali con £$a<b$£, allora
$$P(a\leq Y\leq b)\approx P(a\leq Z\leq b)=\int_a^b{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2}\,dx}$$
Vediamo se, nel nostro caso, sono soddisfatte queste condizioni di approssimazione: £$n=500$£, £$p=0,15$£, e quindi £$n\kern1pt p=75$£e £$n\kern1pt p\kern1pt (1-p)=63,75$£. L'approssimazione con la normale standard si può applicare con ottima precisione. La variabile "normalizzata" £$Y$£ è nel caso attuale
$$Y=\frac{x-75}{\sqrt{63,75}}\,$$
La relazione £$X>50$£ corrisponde a £$Y>\frac{50-75}{\sqrt{63,75}}$£, e grazie alla (quasi) uguale distribuzione di £$Y$£ e £$Z$£, a £$Z>\frac{50-75}{\sqrt{63,75}}$£. Se vogliamo essere più precisi, visto che £$X$£ assume solo valori interi (perché conta il numero di ammalati), la relazione £$X>50$£ è equivalente a £$X\geq51$£; si ottiene quindi un risultato più preciso inserendo nel termine con cui si confronta £$Z$£ non £$50$£, né £$51$£, bensì il valore intermedio £$50,5$£. In conclusione
$$P(X>50)\approx P(Z>\frac{50,5-75}{\sqrt{63,75}})=P(Z>-3,0685)=\int_{-3,0685}^{+\infty}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2}\,dx}.$$
Il valore (approssimato) dell'ultimo integrale è calcolabile tramite le tavole che riportano i valori della distribuzione normale standardizzata.
La verifica di quanto affermato in (£$b$£) consiste nel prendere atto che il valore di quell'integrale è maggiore di £$0,99$£.
Non avendo le tavole, non possiamo calcolare questo valore. Quindi abbiamo finito.
Per i più curiosi, si ottiene come risultato £$0,998924$£ che è maggiore di £$0,99$£.