Nella seconda prova di matematica alla maturità, devi svolgere cinque quesiti (esercizi brevi) su dieci. Qui trovi la soluzione del quesito 5 della simulazione della seconda prova di maturità del 29 aprile 2016.
Ecco la soluzione del quesito 5 della simulazione di seconda prova di matematica della maturità del 29 aprile 2016.
Per risolverlo, ti suggeriamo di ripassare:
Considerata la parabola di equazione £$y=4-x^2$£, nel primo quadrante ciascuna tangente alla parabola delimita con gli assi coordinati un triangolo. Determinare il punto di tangenza in modo che l'area di tale triangolo sia minima.
Sia £$f(x)=4-x^2$£, ossia la funzione di cui la parabola è il grafico. Consideriamo un generico punto £$P$£ dell'arco di parabola contenuto nel primo quadrante: £$P\;(x_{P},4-x_{P}^2)$£. Allora, l'equazione delle retta tangente alla parabola in £$P$£ è
$$y=y_{P}+f'(x_{p})\cdot(x-x_{P})$$
Ora sostituiamo in questa equazione £$y_{P}=4-x_{P}^2$£; £$f'(x_{P})=-2x_{P}$£ e abbiamo che l'equazione della retta tangente è
$$y=4-x_{P}^2-2x_{P}(x-x_{P})$$
Determiniamo i punti £$A$£ e £$B$£ nei quali tale retta interseca rispettivamente gli assi £$x$£ e £$y$£:
\[\left\{ \begin{array}{l}y = 4 - {x_{P} ^2} - 2x_{P} \left( {x - x_{P} } \right)\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow x -x_{P} = \frac{{4 - {x_{P}^2}}}{{2x_{P} }} \Rightarrow x = x_{P} + \frac{{4 - {x_{P} ^2}}}{{2x_{P} }} = \frac{4 + {x_{P} ^2}}{2x_{P} }\]
quindi è £$A\;\Bigl( \frac{4 + {x_{P} ^2}}{2x_{P} },0\Bigr)$£;
\[\left\{ \begin{array}{l}y = 4 - {x_{P} ^2} - 2x_{P} {\kern 1pt} \left( {x - x_{P} } \right)\\x = 0\end{array} \right. \Rightarrow y = 4 - x_{P} ^2 + 2{x_{P} ^2} = 4 + x_{P} ^2\]
quindi è £$B\;\bigl( 0,4 + {x_{P} ^2}\bigr)$£
L'area del triangolo £$OAB$£ è quindi:
$$A_{OAB}=\frac{1}{2}\,\overline{OA} \cdot \overline{OB}=\frac{\bigl(4 + x_{P}^2\bigr)^2}{4x_{P}}\equiv S(x_{P})\,$$
Dobbiamo adesso trovare il minimo valore assunto da £$S(x_{P})$£ per £$x_{P}\in (0,2]$£. Calcoliamo la derivata di £$S(x_{P})$£:
\[S'\left( x_{P} \right) = \frac{1}{{4{x_{P} ^2}}}\left( {2{\kern 1pt} \left( {4 + {x_{P} ^2}} \right) \cdot 2{x_{P} ^2} - {{\left( {4 + {x_{P} ^2}} \right)}^2}} \right) = \frac{1}{{4{x_{P} ^2}}}\left( {4 + {x_{P} ^2}} \right)\left( {3{x_{P} ^2} - 4} \right)\]
Il denominatore e il fattore £$\bigl( {4 + {x_{P} ^2}} \bigr)$£ sono positivi per ogni £$x_{P}$£ nell'intervallo considerato. Invece £$3x_{P}^2-4>0$£ se e solo se £$x_{P}<-\frac{2}{\sqrt{3}}$£ oppure £$x_{P}>\frac{2}{\sqrt{3}}$£. Il segno di £$S'(x_{P})$£ varia come indicato nel seguente schema
e quindi il minimo valore di £$S(x_{P})$£ si ottiene quando £$x_{P}=\frac{2}{\sqrt{3}}$£, cioè £$P\;\bigl(\frac{2}{\sqrt{3}},\frac{8}{3}\bigr)$£.
L'area corrispondente è £$S\bigl(\frac{2}{\sqrt{3}}\bigr)=\frac{32}{9}\sqrt{3}$£.
