Nella seconda prova di matematica alla maturità, devi svolgere cinque quesiti (esercizi brevi) su dieci. Qui trovi la soluzione del quesito 7 della simulazione della seconda prova di maturità del 29 aprile 2016.
Ecco la soluzione del quesito 7 della seconda prova di matematica del 29 aprile 2016.
Per risolverlo, ti conviene ripassare gli integrali, in particolare il teorema del valor medio integrale.
Calcolare il valor medio della funzione
\[ f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{l}{x - 1}&{1 \le x \le 3}\\{{e^{x - 3}} + 1}&{3 < x \le 6}\end{array}} \right. \]
nell'intervallo £$[1,6]$£ e determinare il valore della £$x$£ in cui la funzione assume il valore medio.
Il valore medio o media integrale di una funzione £$f$£ integrabile in un intervallo £$[a,b]$£ è il numero
$$V_{m}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$$
Nel nostro caso l'intervallo di riferimento è £$[a,b]=[1,6]$£. Poiché £$f$£ ha due diverse espressioni, è cioè definita a tratti, in £$[1,3]$£ e in £$(3,6]$£, dobbiamo calcolare l'integrale in ciascun intervallo, stando attenti a scegliere l'espressione corretta della funzione. Alla fine, sommeremo i risultati.
$$\int_1^3 f(x)\,dx=\int_1^3 (x-1)\,dx=\frac{1}{2}\bigl[(x-1)^2\bigr]_{x=1}^{x=3}=2$$
$$\int_3^6 f(x)\,dx=\int_3^6 (e^{x-3}+1)\,dx=\bigl[e^{x-3}+x\bigr]_{x=3}^{x=6}=e^3+2$$
e quindi la media integrale è
$$V_{m}=\frac{1}{6-1}\int_1^6 f(x)\,dx=\frac{1}{5}\bigl(2+e^3+2\bigr)=\frac{1}{5}\bigl(e^3+4\bigr)\,.$$
La seconda parte della domanda fa riferimento al Teorema della media integrale: se £$f$£ è una funzione continua in £$[a,b]$£ e £$V_{m}$£ è la media integrale allora esiste almeno un £$x\in[a,b]$£ tale che £$f(x)=V_{m}$£.
La nostra £$f$£ è continua in £$[1,6]$£? Vediamo cosa succede "vicino" a £$x_0=3$£:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} (x - 1) = 2=f(3)\;;\;\;\;\;\;\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {{e^{x - 3}} + 1} \right) = 2\]
Quindi £$f$£ è continua. Si può allora applicare il Teorema della media integrale. Dal testo si intuisce che ci sia un solo valore di £$x$£ che soddisfa questa condizione. In realtà il teorema assicura l'esistenza, ma non l'unicità (e neanche che si possa calcolare).
Cerchiamo quindi £$x\in[1,6]$£ tale che £$f(x)=\frac{1}{5}\bigl(e^3+4\bigr)$£.
Se £$x\in[1,3]$£ bisogna che sia £$x-1=\frac{1}{5}\bigl(e^3+4\bigr)$£ cioè £$x=\frac{1}{5}\bigl(e^3+9\bigr)$£; ma questo valore è maggiore di £$3$£, quindi non è accettabile.
Se £$x\in]3,6]$£ serve che £$e^{x-3}+1=\frac{1}{5}\bigl(e^3+4\bigr)$£ cioè £$e^{x-3}=\frac{1}{5}\bigl(e^3-1\bigr)$£ da cui £$x=3+\ln\bigl(\frac{1}{5}\bigl(e^3-1\bigr)\bigr)$£, valore accettabile in quanto compreso fra £$3$£ e £$6$£ (vale circa £$4,34$£).
