La velocità di variazione di £$r(t)$£ (in crescita o in diminuzione) è per definizione la derivata £$r'(t)$£.
L'area della superficie sferica di raggio £$r(t)$£ è £$a(t)=4\pi(r(t))^2$£; la velocità con cui varia £$a(t)$£ è £$a'(t)=8\pi\cdot r(t)\cdot r'(t)$£.
Si vuole che queste due velocità siano "numericamente" uguali, ignorando cioè le unità di misura, necessariamente diverse per le due grandezze: £$r'(t)$£ rappresenta una lunghezza divisa per un tempo, potrebbe per esempio essere espressa in £$\frac{m}{s}$£ (metri al secondo);
£$a'(t)$£ rappresenterebbe allora una grandezza misurata in £$\frac{m^2}{s}$£.
Ora non ci resta che imporre l'uguaglianza:
$$r'(t)=8\pi\cdot r(t)\cdot r'(t)$$
Questa è ovviamente verificata in ogni istante £$t$£ per cui £$r'(t)=0$£. Se £$r'(t)\neq 0$£ deve valere £$8\pi\cdot r(t)=1$£, quindi
$$r(t)=\frac{1}{8\pi}$$
Questa è la soluzione richiesta. Non è possibile trovare i valori di £$t$£ soddisfacenti questa relazione, perché non è assegnata un'espressione per £$r(t)$£.