Simulazione 29 aprile 2016 - Soluzione quesito 9

In un riferimento cartesiano nello spazio £$Oxy$£, data la retta £$r$£ di equazioni:

\[\left\{ \begin{array}{l}x = 2t + 1\\y = 1 + t\\z = k{\kern 1pt} t\end{array} \right.\]

e il piano £$P$£ di equazione:

\[x + 2y - z + 2 = 0\, ,\]

determinare per quale valore di £$k$£ la retta £$r$£ e il piano £$P$£ sono paralleli, e la distanza tra di essi.

Siamo in £$3$£ dimensioni. Nello spazio, una retta £$r$£ è parallela a un piano £$P$£ se e solo se un vettore direzione di £$r$£ è ortogonale a un vettore perpendicolare a £$P$£. Possiamo, coi dati del testo del quesito, calcolare questi vettori, a meno di un fattore scalare (di un numero).

La retta £$r$£ è infatti rappresentata in forma parametrica: le componenti di un vettore £$\textbf v$£ con la direzione di £$r$£ sono i coefficienti del parametro £$t$£ nelle equazioni parametriche, quindi

$$\textbf v=(2,1,k)$$

Le componenti di un vettore £$\textbf w$£ perpendicolare a un piano £$P$£ sono i coefficienti di £$x$£, £$y$£, £$z$£ nell'equazione cartesiana di £$P$£. In questo caso

$$\textbf w=(1,2,-1)\,.$$

Abbiamo ricordato che £$r\parallel P \Leftrightarrow \textbf v \perp \textbf w$£; calcoleremo quindi £$k$£ imponendo £$\left\langle {{\bf{v}},{\bf{w}}} \right\rangle = 0$£, cioè

$$2\cdot1+1\cdot 2+k\cdot (-1)=0\;;\;\;\;4-k=0\;;\;\;\;k=4\,.$$

Le equazioni parametriche della retta £$r$£ diventano

\[\left\{ \begin{array}{l}x = 2t + 1\\y = t + 1\\z = 4t\end{array} \right.\]

La distanza tra il piano £$P$£ e questa retta £$r$£, parallela a £$P$£, è la distanza da £$P$£ di un qualunque punto £$R\in r$£, per esempio il punto £$R\;(1,1,0)$£ che si ottiene dalle equazioni parametriche ponendo £$t=0$£. Adesso non resta che applicare la formula che esprime la distanza di un punto da un piano:

$$\text{dist}(r,P)=\text{dist}(R,P)=\frac{|1+2+2|}{\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}}=\frac{5}{\sqrt{6}}$$