Simulazione 29 aprile 2016 - Problema 1

Introduzione del problema 1 della simulazione di seconda prova di matematica del 29 aprile 2016.

Le centraline di controllo del Po a Pontelagoscuro (FE) registrano il valore della portata dell'acqua, ovvero il volume d'acqua che attraversa una sezione trasversale del fiume nell'unità di tempo. Come responsabile della sicurezza della navigazione fluviale in quel tratto del Po, devi valutare quando consentire la navigazione stessa, in considerazione delle condizioni atmosferiche e del livello dell’acqua.
Nel corso dell'anno le portate medie del Po (a Pontelagoscuro) sono di circa 34 milioni di £$\text{m}^3$£ al giorno in regime di magra, 130 milioni di £$\text{m}^3$£ al giorno in regime normale con un’oscillazione del 10% e 840 milioni di £$\text{m}^3$£ al giorno in regime di piena (fonte deltadelpo.net).
Durante un periodo di alcuni giorni di piogge intense, dalle rilevazioni registrate risulta che:

• nei primi due giorni dall'inizio delle misurazioni il valore della portata dell'acqua si è alzato dal valore di regime normale di 130 milioni di £$\text{m}^3$£ al giorno fino al valore massimo di 950 milioni di £$\text{m}^3$£ al giorno;
• nei giorni successivi la portata si è ridotta, tornando verso il valore di regime normale, inizialmente più velocemente e poi più lentamente.

Indicando con £$t$£ il tempo, misurato in giorni, fissa un adeguato sistema di riferimento cartesiano in cui rappresentare il grafico dell'andamento della portata. Verifica se una delle seguenti funzioni può essere usata come modello per descrivere tale andamento, tenendo conto dei valori rilevati e del punto di massimo, giustificando con opportune argomentazioni sia la scelta che l'esclusione.

$$f(t)=a\cdot cos(b\cdot t)+c$$

$$g(t)=a\cdot e^{-\frac{t^2}{b}}+c$$

$$h(t)=a\cdot t \cdot e^{1-bt}+c$$

con £$a,b,c \in \mathbb{R}$£

La funzione che cerchiamo ha le seguenti caratteristiche:

• per £$t=0$£ assume valore £$130$£
• per £$t=2$£ cresce fino ad avere un massimo nel punto di ordinata £$950$£
• per £$t > 2$£ decresce non scendendo sotto il valore £$130$£.

Dobbiamo quindi scegliere la funzione che ha un massimo in £$t=2$£. Calcoliamo le derivate e poniamole uguali a zero per cercare i punti di massimo:

• £$f'(t)=-ab\,sen(bt)=0$£. Allora la funzione £$f$£ ha punti stazionari in £$t=k\frac{\pi}{b}$£ e questo può essere uguale a due per £$b=\pi$£. Questa funzione però avrebbe infiniti massimi e minimi (è una funzione che oscilla) e quindi non può rappresentare la situazione proposta dal problema
• £$g'(t)=-\frac{a}{b}2t\,e^{-\frac{t^2}{b}}=0$£. La derivata si annulla solo in £$t=0$£, quindi scartiamo anche la funzione £$g$£
• £$h'(t)=ae^{1-bt}(1-bt)=0$£ se e solo se £$t=\frac{1}{b}$£ che è uguale a £$2$£ se £$b=\frac{1}{2}$£

La funzione che rappresenta le condizioni del problema è quindi £$h(t)=a\,t\,e^{1-bt}+c$£

Dobbiamo risolvere il sistema che rappresenta le tre condizioni:

£$\begin{cases} h(0)=130 \\ h(2)=950 \\ h'(2)=0\end{cases}$£ quindi abbiamo £$\,\,\begin{cases} 130=c \\ 950=2ae^{1-2b}+ c \\ 0=ae^{1-2b}(1-2b)\end{cases}$££$\longrightarrow \begin{cases} c=130 \\ b=\frac{1}{2} \\ a=410\end{cases}$£

La funzione è quindi £$h(t)=410\,t\,e^{1-\frac{1}{2}t}+130$£

Dobbiamo trovare il minimo della funzione che rappresenta la variazione della portata: significa quindi trovare il minimo della funzione derivata prima di £$h$£. Deriviamo quindi £$h'(t)$£ e cerchiamo il minimo:

£$h''(t)=205e^{1-\frac{1}{2}t}(\frac{1}{2}t-2)\ge 0$£ se e solo se £$\frac{1}{2}t-2\ge 0$£ cioè £$t\ge 4$£

La funzione £$h'(t)$£ ha quindi un minimo in £$t=4$£: la variazione raggiunge il suo minimo dopo 4 giorni.

Ora dobbiamo trovare dopo quanti giorni la portata rientra nel limite di oscillazione del valore di regime normale: la portata in regime normale è di £$130$£ milioni di £$ m^3$£ con un'oscillazione del £$10\%$£.

Misuriamo l'scillazione: £$130\cdot\frac{10}{100}=13$£ milioni di £$m^3$£. Il regime normale quindi si verifica tra i £$117$£ e i £$143$£ milioni di £$m^3$£.

Quindi per trovare dopo quanti giorni la portata rientra nel limite di oscillazione del valore di regime normale dobbiamo risolvere l'equazione £$143=410\,t\,e^{1-\frac{1}{2}t}+130$£ con £$t > 2$£.

Non è possibile risolvere algebricamente quest'equazione: possiamo trovare un valore £$x_\alpha$£ approssimato procedendo per tentativi

• se £$x_\alpha=14$£ dall'equazione otteniamo £$(410\cdot 14) e^{-6}+130=144,3 >143$£
• se £$x_\alpha=15$£ dall'equazione otteniamo £$(410\cdot 15) e^{-\frac{13}{2}}+130=139,2 <143$£

Il valore di £$x_\alpha\in (14; 15)$£.

L'inizio del fenomeno avviene per un certo £$x_\beta\in (0;2)$£ che risolve l'equazione £$143=410\,t\,e^{1-\frac{1}{2}t}+130$£ con la condizione £$t < 2$£.

La fine del fenomeno avviene per il valore £$x_\alpha\in (14;15)$£ trovato nel punto precedente.

Per calcolare il volume di acqua che ha superato il valore di regime normale dobbiamo risolvere l'integrale definito $$\int_{x_\alpha}^{x_\beta}410\, t\, e^{1-\frac{1}{2}t}+130 \,dt$$

Risolviamo, usando il metodo di integrazione per parti, prima l'integrale indefinito

£$\int410\, t\, e^{1-\frac{1}{2}t}+130 \,dt$£ £$=-820\,t\,e^{1-\frac{1}{2}t}+\int 820\, e^{1-\frac{1}{2}t}\,dt+130t$£ £$=-820\,t\,e^{1-\frac{1}{2}t}- 1640\, e^{1-\frac{1}{2}t}+130t+c$£

La soluzione di £$\int_{x_\alpha}^{x_\beta}410\, t\, e^{1-\frac{1}{2}t}+130 \,dt$£ è quindi £$\left[-820\,t\,e^{1-\frac{1}{2}t}- 1640\, e^{1-\frac{1}{2}t}+130t\right]_{x_\alpha}^{x_\beta} $£