Ci sono due modi per trovare il valore di £$k$£ richiesto.
METODO 1:
Dal grafico, vediamo che la funzione passa per il punto £$(2;4)$£ quindi imponiamo il passaggio per questo punto. Sostituiamo cioè le coordinate del punto nell'espressione della funzione:
£$4=2^k \cdot e^{k-2} \to 2^2=2^k\cdot \frac{e^k}{e^2} \to 2^2\cdot e^2 = 2^k \cdot e^k \to (2e)^2=(2e)^k \to k=2$£
METODO 2:
Dall'immagine vediamo che la funzione presenta un punto di massimo in corrispondenza di £$ x = 2 $£ e un punto di minimo nell'origine, cioè per £$ x = 0 $£. Allora calcoliamo la derivata della funzione e cerchiamo il valore di £$ k $£ che annulla la derivata per £$ x = 0 $£ e per £$ x = 2 $£.
$$ f'(x) = k \cdot x^{k -1} \cdot e^{(k - x)} + x^k \cdot e^{(k - x)} \cdot ( -1 ) = $$ $$ = x^{k - 1} \cdot e^{(k -x)} \cdot (k - x) $$
Calcoliamo ora il valore della derivata in £$ 0 $£ e in £$ 2 $£ e poniamola uguale a £$ 0 $£:
$$ f'(0) = 0 $$ $$ f'(2) = 2^{k - 1} \cdot e^{(k - 2)} \cdot (k -2 ) = 0 $$
I primi due termini della derivata sono due esponenziali, quindi sono sempre positivi, infatti £$ 2^{k - 1} > 0 $£ e che £$ e^{(k - 2)} > 0 $£, quindi troviamo che £$ f'(2) = 0 \Leftrightarrow k = 2 $£.
La funzione £$ f(x) $£ rappresentata dal grafico £$ G $£ è £$ f(x) = x^2 \cdot e^{(2 - x)} $£.
Ora che abbiamo trovato il valore del parametro, calcoliamo la derivata prima e la derivata seconda della nostra funzione per trovare le coordinate dei punti di flesso:
$$ f'(x) = 2x \cdot e^{(2 - x)} - x^2 \cdot e^{(2-x)} = e^{(2 - x)} \cdot (2x - x^2) $$ $$ f''(x) = 2 \cdot e^{(2 - x)} - 2x \cdot e^{(2 - x)} - 2x \cdot e^{(2 - x)} + x^2 \cdot e^{(2 - x)} = e^{(2 - x)} \cdot (2 - 4x + x^2) $$
In quali punti si annulla la derivata seconda?
$$ f''(x) = 0 \Leftrightarrow e^{(2 - x)} \cdot (2 - 4x + x^2) = 0 $$
L'esponenziale non si annulla mai, quindi dobbiamo cercare dove si annulla il polinomio di secondo grado £$ x^2 - 4x + 2 = 0 $£.
$$ x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 2}}{1} = 2 \pm \sqrt{2} $$
I punti di flesso sono i punti di coordinate: £$ F_1 \left( 2 + \sqrt 2; (2 + \sqrt 2)^2 \cdot e^{-\sqrt 2} \right) $£ e £$ F_2 \left( 2-\sqrt 2 ; (2 - \sqrt 2)^2 \cdot e^{ \sqrt 2} \right) $£.
Passiamo ora al calcolo degli asintoti utilizzando i limiti:
$$ \lim_{x \to + \infty} x^2 \cdot e^{(2 - x)} = 0 $$ quindi c'è un asintoto orizzontale, che è proprio l'asse £$ x $£, cioè la retta £$ y = 0 $£.
$$ \lim_{x \to - \infty} x^2 \cdot e^{(2 - x)} = + \infty $$
Visto che il limite non è finito, controlliamo se c'è un asintoto obliquo:
$$ \lim_{x \to - \infty} \frac{x^2 \cdot e^{(2 - x)}}{x} = \lim_{x \to - \infty} x \cdot e^{(2 - x)} = - \infty $$
quindi non c'è nessun asintoto obliquo, né verticale.
Infine calcoliamo le equazioni delle rette tangenti a £$ G $£ nei punti di flesso. Come facciamo? Per trovare le tangenti, dobbiamo calcolare il valore della derivata nei due punti di flesso, cioè nei punti £$ F_1 $£ e £$ F_2 $£:
$$ m_1 = f'(2 + \sqrt 2) = - e^{- \sqrt 2} \cdot (2\sqrt 2 + 2) $$ $$ m_2 = f'(2 - \sqrt 2) = e^{ \sqrt 2} \cdot (2\sqrt 2 - 2) $$
La retta tangente nel punto di flesso £$ F_1 $£ è: £$ y = -2x(\sqrt 2 + 1) e^{- \sqrt 2} + (10\sqrt 2 + 14) e^{- \sqrt 2} $£
La retta tangente nel punto di flesso £$ F_2 $£ è: £$ y = 2x(\sqrt 2 - 1) e^{ \sqrt 2} - (10\sqrt 2 - 14) e^{\sqrt 2} $£