Simulazione 29 aprile 2016 - Problema 2

Ci sono due modi per trovare il valore di £$k$£ richiesto.

METODO 1:

Dal grafico, vediamo che la funzione passa per il punto £$(2;4)$£ quindi imponiamo il passaggio per questo punto. Sostituiamo cioè le coordinate del punto nell'espressione della funzione:

£$4=2^k \cdot e^{k-2} \to 2^2=2^k\cdot \frac{e^k}{e^2} \to 2^2\cdot e^2 = 2^k \cdot e^k \to (2e)^2=(2e)^k \to k=2$£

METODO 2:

Dall'immagine vediamo che la funzione presenta un punto di massimo in corrispondenza di £$ x = 2 $£ e un punto di minimo nell'origine, cioè per £$ x = 0 $£. Allora calcoliamo la derivata della funzione e cerchiamo il valore di £$ k $£ che annulla la derivata per £$ x = 0 $£ e per £$ x = 2 $£.

$$ f'(x) = k \cdot x^{k -1} \cdot e^{(k - x)} + x^k \cdot e^{(k - x)} \cdot ( -1 ) = $$ $$ = x^{k - 1} \cdot e^{(k -x)} \cdot (k - x) $$

Calcoliamo ora il valore della derivata in £$ 0 $£ e in £$ 2 $£ e poniamola uguale a £$ 0 $£:

$$ f'(0) = 0 $$ $$ f'(2) = 2^{k - 1} \cdot e^{(k - 2)} \cdot (k -2 ) = 0 $$

I primi due termini della derivata sono due esponenziali, quindi sono sempre positivi, infatti £$ 2^{k - 1} > 0 $£ e che £$ e^{(k - 2)} > 0 $£, quindi troviamo che £$ f'(2) = 0 \Leftrightarrow k = 2 $£.

La funzione £$ f(x) $£ rappresentata dal grafico £$ G $£ è £$ f(x) = x^2 \cdot e^{(2 - x)} $£.

Ora che abbiamo trovato il valore del parametro, calcoliamo la derivata prima e la derivata seconda della nostra funzione per trovare le coordinate dei punti di flesso:

$$ f'(x) = 2x \cdot e^{(2 - x)} - x^2 \cdot e^{(2-x)} = e^{(2 - x)} \cdot (2x - x^2) $$ $$ f''(x) = 2 \cdot e^{(2 - x)} - 2x \cdot e^{(2 - x)} - 2x \cdot e^{(2 - x)} + x^2 \cdot e^{(2 - x)} = e^{(2 - x)} \cdot (2 - 4x + x^2) $$

In quali punti si annulla la derivata seconda?

$$ f''(x) = 0 \Leftrightarrow e^{(2 - x)} \cdot (2 - 4x + x^2) = 0 $$

L'esponenziale non si annulla mai, quindi dobbiamo cercare dove si annulla il polinomio di secondo grado £$ x^2 - 4x + 2 = 0 $£.

$$ x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 2}}{1} = 2 \pm \sqrt{2} $$

I punti di flesso sono i punti di coordinate: £$ F_1 \left( 2 + \sqrt 2; (2 + \sqrt 2)^2 \cdot e^{-\sqrt 2} \right) $£ e £$ F_2 \left( 2-\sqrt 2 ; (2 - \sqrt 2)^2 \cdot e^{ \sqrt 2} \right) $£.

Passiamo ora al calcolo degli asintoti utilizzando i limiti:

$$ \lim_{x \to + \infty} x^2 \cdot e^{(2 - x)} = 0 $$ quindi c'è un asintoto orizzontale, che è proprio l'asse £$ x $£, cioè la retta £$ y = 0 $£.

$$ \lim_{x \to - \infty} x^2 \cdot e^{(2 - x)} = + \infty $$

Visto che il limite non è finito, controlliamo se c'è un asintoto obliquo:

$$ \lim_{x \to - \infty} \frac{x^2 \cdot e^{(2 - x)}}{x} = \lim_{x \to - \infty} x \cdot e^{(2 - x)} = - \infty $$

quindi non c'è nessun asintoto obliquo, né verticale.

Infine calcoliamo le equazioni delle rette tangenti a £$ G $£ nei punti di flesso. Come facciamo? Per trovare le tangenti, dobbiamo calcolare il valore della derivata nei due punti di flesso, cioè nei punti £$ F_1 $£ e £$ F_2 $£:

$$ m_1 = f'(2 + \sqrt 2) = - e^{- \sqrt 2} \cdot (2\sqrt 2 + 2) $$ $$ m_2 = f'(2 - \sqrt 2) = e^{ \sqrt 2} \cdot (2\sqrt 2 - 2) $$

La retta tangente nel punto di flesso £$ F_1 $£ è: £$ y = -2x(\sqrt 2 + 1) e^{- \sqrt 2} + (10\sqrt 2 + 14) e^{- \sqrt 2} $£

La retta tangente nel punto di flesso £$ F_2 $£ è: £$ y = 2x(\sqrt 2 - 1) e^{ \sqrt 2} - (10\sqrt 2 - 14) e^{\sqrt 2} $£

Considera un triangolo avente i vertici, rispettivamente, nell’origine, nel punto della funzione £$f(x)$£ di ascissa £$a$£, e nel punto £$P$£ sua proiezione sull’asse £$x$£. Determina il valore £$a \ge 0$£ per cui la sua area sia massima.

Il triangolo che stiamo cercando ha tre vertici: il primo è l'origine £$ O(0;0) $£, il secondo è il punto di coordinate £$ H(a; f(a)) $£ e il terzo è il punto £$ P $£ che è la proiezione di questo punto sull'asse £$ x $£, quindi ha coordinate £$ P(a; 0) $£. Dobbiamo trovare £$ a \ge 0 $£ tale per cui l'area di questo triangolo sia massima.

Ti ricordi come si calcola l'area di un triangolo? £$ A = \frac{\text{base } \cdot \text{ altezza}}{2} $£

L'area del nostro triangolo sarà una funzione che dipende dal parametro £$ a $£:

$$ A(a) = \frac{a \cdot f(a)}{2} $$

Visto che si tratta di un'area, sappiamo già che la funzione £$ A(a) $£ è una funzione sempre £$ \ge 0 $£. Per trovare il massimo, calcoliamo la sua derivata e cerchiamo il punto in cui si annulla:

$$ A'(a) = \frac{1}{2} \cdot (f(a) + a \cdot f'(a) ) $$

Sostituiamo il valore della nostra funzione:

$$ A'(a) = \frac{1}{2} \cdot \left[ a^2 \cdot e^{(2-a)} + a \cdot e^{(2-a)}(2a - a^2) \right] = \frac{1}{2}a^2 \cdot e^{(2 - a)} \cdot (3 -a) $$

$$ A'(a) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2}a^2 \cdot e^{(2 - a)} \cdot (3 -a) = 0 $$

La derivata si annulla per due valori di £$a $£. Il primo è £$ a = 0 $£, ma non è accettabile perché la figura che otteniamo non è un triangolo: i tre punti £$ O, H $£ e £$ P $£ coinciderebbero tutti con l'origine. L'altro valore che troviamo è £$ a = 3 $£: questa soluzione è accettabile. Dallo schema dei segni vediamo che £$ A'(a) \ge 0 \Leftrightarrow a \le 3 $£, quindi per £$ a = 3 $£ troviamo il massimo della funzione area.

Il triangolo di area massima ha vertici £$ O(0;0), H(3; f(3)) $£ e £$ P(3; 0) $£.

Calcola l'area della regione piana delimitata da £$G$£ e dall'asse £$x$£ nell'intervallo £$[0,2]$£ e determina il valore dell'errore percentuale che si verifica nel calcolo di tale area se nell'intervallo £$[0,2]$£ si adotta, per approssimare £$f(x)$£, una funzione razionale di 3° grado della forma

$$r(x)=ax^3+bx^2+cx+d, \quad x\in \mathbb{R}, \ a,b,c,d \in \mathbb{R}$$

con £$r(0)=f(0)=0, r(2)=f(2)=4, r'(0)=0, r'(2)=0$£

Per calcolare l'area della regione piana delimitata da £$ G $£ e dall'asse £$ x $£ nell'intervallo £$ [0, 2] $£ dobbiamo calcolare l'integrale della funzione in questo intervallo. Integriamo per parti:

$$ \int_{0}^{2} x^2 e^{(2 - x)} dx = e^2 \int_{0}^{2} x^2 e^{-x} dx = $$ $$ = e^2 \left[ \left[- x^2 e^{-x} \right]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} 2xe^{-x} dx \right] = $$ $$ = e^2 \left[ \left[- x^2 e^{-x} \right]_{0}^{2} + 2 \left[ -x e^{-x} \right]_{0}^{2} + 2 \int_{0}^{2} e^{-x} dx \right] = $$ $$ = e^2 \left[ \left[- x^2 e^{-x} \right]_{0}^{2} + 2 \left[ -x e^{-x} \right]_{0}^{2} + 2 \left[- e^{-x} \right]_{0}^{2} \right] = $$ $$ = e^2 \left[ - 4 e^{-2} + 2 \left( -2 e^{-2} -e^{-2} +1 \right) \right] = $$ $$ = e^2 ( 10e^{-2} + 2) = $$ $$ = 2e^2 - 10 $$

Vogliamo approssimare la funzione £$ f(x) $£ con la funzione razionale di terzo grado £$ r(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $£. Calcoliamo la derivata di questa funzione razionale: £$ r'(x) = 3ax^2 + 2bx + c $£ e troviamo i valori dei parametri della funzione:

$$ \begin{cases} r(0) =f(0) = 0 \\ r(2) = f(2) = 4 \\ r'(0) = 0 \\ r'(2) = 0 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} d= 0 \\ 8a + 4b + 2c = 4 \\ c = 0 \\ 12 a + 4b = 0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} d = 0 \\ 8a - 12a = 4 \\ c = 0 \\ b = - 3a \end{cases} \rightarrow \begin{cases} d = 0 \\ a = - 1 \\ c = 0 \\ b = 3 \end{cases} $$

Calcoliamo quindi l'area delimitata da questa funzione £$ r(x) = -x^3 + 3x^2 $£ e dall'asse £$ x $£ calcolando un integrale:

$$ \int_{0}^{2} -x^3 + 3x^2 dx = \left[- \frac{x^4}{4} + x^3 \right]_{0}^{2} = -4 + 8 = 4 $$

Per calcolare l'errore, dobbiamo calcolare il valore assoluto della differenza tra il valore approssimato e il valore esatto e dividere per il valore esatto:

$$ \frac{\left| \text{val. approssimato - val. esatto} \right| }{\text{val. esatto}} = \frac{\left| 4 - 2e^2 + 10 \right| }{2e^2 - 10} =$$ $$ = \frac{\left| 14 - 2e^2 \right| }{2(e^2 - 5)} = \frac{\left| 7 - e^2 \right| }{e^2 - 5} $$

Troviamo l'errore percentuale moltiplicando questo risultato per £$ 100 $£:

$$ \frac{\left| 7 - e^2 \right| }{e^2 - 5} \cdot 100 \simeq 16 \% $$

Dimostra che, dette £$A$£ e £$B$£ le intersezioni tra le tangenti a £$G$£ nei punti di flesso e l’asse £$x$£, £$C$£ e £$D$£ le proiezioni dei punti di flesso sull’asse £$x$£, si ha:

$$ \overline{AB} = 2 \overline{CD} $$

per qualsiasi £$ k \in \mathbb{N}, k > 1 $£.

Per rispondere all'ultimo punto, torniamo alla funzione di partenza e calcoliamo tutte le derivate, i flessi e le tangenti in funzione di £$ k $£:

$$ f(x) = x^k \cdot e^{k-x} \\ f'(x) = x^{k - 1} \cdot e^{(k -x)} \cdot (k - x) \\ f''(x) = e^{k-x} \cdot x^{k-2} \left[ (x - k)^2 - k \right] $$

Cerchiamo i flessi, cioè i punti in cui si annulla la derivata seconda della funzione:

$$ f''(x) = 0 \Leftrightarrow (x - k)^2 - k = 0 $$ $$ (x-k)^2 = k $$ $$ x_{1,2} = k \pm \sqrt k $$

Chiamiamo £$ y_1 = f(x_1) $£ e £$ y_2 = f(x_2) $£. Le coordinate dei flessi in funzione di £$ k $£, quindi sono:

$$ F_1 \left( k + \sqrt k; (k + \sqrt k) \cdot e^{- \sqrt k} \right) $$ $$ F_2\left( k- \sqrt k; (k-\sqrt k)^k \cdot e^{\sqrt k} \right) $$

La retta tangente a £$ G $£ nel punto £$ F_1 $£ ha coefficiente angolare £$ m_1 = f'(x_1) = -\sqrt k \cdot e^{-\sqrt k} \cdot (k+\sqrt k)^{k-1} $£ e troviamo la sua equazione usando la formula £$ y - y_1 = m_1 \cdot (x -x_1) $£.

La retta tangente a £$ G $£ nel punto £$ F_2 $£ ha coefficiente angolare £$ m_2 = f'(x_2) = \sqrt k e^{\sqrt k} (k - \sqrt k)^{k - 1} $£ e troviamo la sua equazione usando la formula £$ y - y_2 = m_2 \cdot (x - x_2) $£.

I punti £$ A $£ e £$ B $£ sono dati dall'intersezione delle tangenti con l'asse £$ x $£, quindi dobbiamo risolvere i sistemi:

$$ \begin{cases} y - y_1 = m_1\cdot (x - x_1) \\ y = 0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} y - y_2 = m_2 \cdot (x - x_2) \\ y = 0 \end{cases} $$

Dobbiamo trovare solo le ascisse di questi due punti:

$$ x_A = - \frac{y_1}{m_1} + x_1 = - \frac{( k + \sqrt k)^k e^{-\sqrt k}}{ - \sqrt k e^{-\sqrt k} (k + \sqrt k)^{k - 1}} + k + \sqrt k = 2 \sqrt k + 1 + k $$

$$ x_B = -\frac{y_2}{m_2} + x_2 = -\frac{(k - \sqrt k)^k e^{\sqrt k}}{\sqrt k e^{\sqrt k} ( k - \sqrt{k})^{k-1}} + k - \sqrt k = -2\sqrt k + 1 + k $$

Calcoliamo la lunghezza del segmento £$ AB $£ facendo la differenza tra questi due valori:

$$ \overline{AB} = \left|x_A - x_B \right| = $$ $$ = \left| 2\sqrt k + 1 + k - (-2\sqrt k + 1 + k) \right| = 4 \sqrt k $$

I punti £$ C $£ e £$ D $£ sono le proiezioni dei flessi sull'asse £$ x $£, quindi hanno le stesse ascisse dei due flessi: £$ x_C = k + \sqrt k $£ e £$ x_D = k + \sqrt k $£.

Calcoliamo la lunghezza del segmento £$ CD $£ facendo la differenza tra questi due valori:

$$ \overline{CD} = \left| x_C - x_D \right| = $$ $$ = \left| k + \sqrt k - (k - \sqrt k) \right| = 2 \sqrt k $$

Abbiamo quindi dimostrato che £$ \overline{AB} = 2\overline{CD} $£ vale per qualsiasi £$ k \in \mathbb{N}, k > 1 $£ perché £$ 4 \sqrt k = 2 \cdot 2 \sqrt k $£.