Simulazione 10 dicembre 2015 - Problema 1

Soluzione del problema 1 "Il porta scarpe da viaggio" della simulazione di seconda prova di matematica per la maturità. Hai provato a risolverlo? Qui trovi la soluzione spiegata, punto per punto.

2019-03-19 01:49:15

Il problema 1 della simulazione di seconda prova si intitola "Il porta scarpe da viaggio". Ma cosa devi fare? Aiuta un artigiano a costruire il miglior porta scarpe che si sia mai visto!
Non solo. Devi anche aiutarlo nel suo business! Infatti è convinto che producendo infiniti contenitori, il rapporto ricavi/costi possa crescere all'infinito. Tu, da buon matematico, sai che non è così. Ma sarà facile convincerlo?
Per risolvere correttamente questo problema, ti devi ricordare un po' di geometria analitica (ma poca eh), il calcolo delle derivate e dei massimi di una funzione. Ah sì, un po' di calcolo dei limiti (facili) ti aiuterà a convincere l'artigiano.

Contenuti di questa lezione su: Simulazione 10 dicembre 2015 - Problema 1

Come risolvere il punto 1
Soluzione del punto 2
Come risolvere il punto 3
Soluzione del punto 4

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Come risolvere il punto 1

Il punto 1 di un problema di matematica della maturità è sempre importante. Infatti da questo può dipendere la scelta di affrontare il problema, oppure scegliere l'altro.
In questo caso, devi aiutare un artigiano nella definizione di un porta scarpe da viaggio. Tu devi trovare a quale funzione corrisponde tra le tre proposte.
Per rispondere velocemente, ripassa la relazione fondamentale della goniometria e le proprietà della funzione esponenziale. Poi sarà un gioco da ragazzi risolvere il punto 1.

Soluzione del punto 2

Ora che hai trovato il tipo di funzione che rappresenta il porta scarpe da viaggio, devi trovare la funzione! Questo punto del problema è semplice, ma ci sono molti calcoli da fare. Infatti devi risolvere un sistema di quattro equazioni in quattro incognite, che sono i parametri £$a, b, c$£ e £$d$£ della funzione.
Quindi molti conti da fare, l'importante è farli con calma e non perdersi per strada.
Se vuoi ripassare, vai alla lezione su come risolvere i sistemi lineari.

Come risolvere il punto 3

Dominio, intersezioni con gli assi, segno e limiti

Derivata prima, massimi e minimi e derivata seconda

Il punto 3 del problema 1 ti chiede di studiare la funzione trovata al punto 2, £$y=-\frac{4}{15}x^3+\frac{4}{5}x^2-\frac{2}{15}x+\frac{2}{5}$£.
Lo studio di questa funzione è abbastanza semplice, perché è una funzione polinomiale e ha un dominio limitato. Inoltre, essendo un porta scarpe, molti passaggi dello studio di funzione si possono saltare, come il calcolo dei limiti e del segno della funzione. La soluzione del punto 3 del problema 1 è divisa così:

  • 1° video: studio del dominio, simmetrie, intersezioni con gli assi, segno, limiti;
  • 2° video: studio della derivata prima, ricerca di massimi e minimi e derivata seconda con ricerca dei punti di flesso;
  • 3° video: grafico della funzione.

Per risolvere il punto 3 devi quindi sapere come calcolare i massimi e minimi di una funzione, i suoi punti di flesso e tracciare poi il grafico.
Se hai bisogno di un ripasso, vai alla lezione su come calcolare massimi, minimi e flessi.

Soluzione del punto 4

Per risolvere il punto 4 del problema 1 è sufficiente sapere come ricavare la funzione dei costi dell'artigiano e quella dei ricavi, che dipendono dal numero di contenitori prodotti.
Si capisce dal problema che sono entrambe funzioni lineari. Ma a te interessa il loro rapporto, quando il numero dei contenitori è molto alto (cioè tende a £$+\infty$£).
Allora per risolvere questo punto, basta calcolare il limite del rapporto ricavi/costi al crescere del numero di contenitori prodotti. È un limite facile da calcolare, ma utile per spiegare all'artigiano che questo rapporto non è infinito!
Può esserti utile, per risolvere il punto 4 del problema ripassare:

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