Simulazione 10 dicembre 2015 - Quesiti su probabilità e calcolo combinatorio

Nella seconda prova di matematica alla maturità, devi svolgere cinque quesiti (esercizi brevi) su dieci. Qui trovi la soluzione dei quesiti 1 e 6 della simulazione della seconda prova di maturità del 10 dicembre 2015 che hanno come argomento la probabilità e il calcolo combinatorio.

2019-03-19 01:55:17

La scelta dei cinque quesiti da svolgere nella seconda prova di maturità è fondamentale. Infatti una scelta accurata ti permette di ottenere il massimo dei punti con il minimo sforzo.
Di solito, ce n'è sempre un paio risolvibili con il calcolo combinatorio o con la probabilità, ma tanti studenti preferiscono non affrontarli perché difficili.
In realtà sono quasi tutti uguali, nel senso del procedimento.
Qui sotto, trovi la soluzione dei quesiti della simulazione del 10 dicembre risolvibili usando la probabilità e il calcolo combinatorio.
Hai bisogno di un ripasso? Ecco dove puoi trovare le lezioni che cerchi:

Contenuti di questa lezione su: Simulazione 10 dicembre 2015 - Quesiti su probabilità e calcolo combinatorio

Soluzione quesito 1
Soluzione quesito 6

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Soluzione quesito 1

Il quesito 1 della simulazione di matematica si risolve con il calcolo delle probabilità. Ecco il testo:

Lanciando una coppia di dadi cinque volte qual è la probabilità che si ottenga un punteggio totale maggiore di sette almeno due volte?

Qui è importante leggere bene il testo e capire cosa ci chiede l'esercizio. Prima di tutto, dobbiamo lanciare due dadi, quindi i risultati possibili sono £$6\cdot 6 = 36$£. Poi, il punteggio totale deve essere maggiore di 7 almeno 2 volte.

Impostiamo il quesito. Per prima cosa, chiamiamo £$X$£ la variabile aleatoria "il punteggio totale è £$>7$£". Quindi £$X$£ è una variabile aleatoria di Bernoulli di parametro £$p$£ da determinare. Ma noi lanciamo i dadi cinque volte, quindi ripetiamo l'evento per cinque volte e sono tutti indipendenti (ed equamente distribuiti). Allora £$X_5$£ è la nostra variabile aleatoria, che modellizza l'evento dei cinque lanci, ed è una somma di cinque £$X$£ indipendenti. Allora £$X_5$£ è una variabile aleatoria binomiale £$B(5,p)$£.
Vogliamo calcolare allora £$P(X_5 \ge 2)$£ cioè che si verifichi £$X$£ un numero di volte £$\ge 2$£.
La formula che permette di calcolare la probabilità di una variabile aleatoria binomiale £$Y$£ è:

£$P(Y=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$£

dove £$n$£ è il numero di prove, £$k$£ il numero di successi. Troviamo anche il coefficiente binomiale (o binomio di Newton) £$\binom{n}{k}$£
A questo punto, si tratta solo di fare i conti.

Soluzione quesito 6

Ecco il testo del quesito 6 della simulazione di seconda prova:

Risolvere la seguente equazione: £$6\cdot \!\!\binom{x}{5}=\binom{x+2}{5}$£

Per risolvere questo quesito devi conoscere la formula del coefficiente binomiale, o binomio di Newton. È associata al calcolo combinatorio. Ecco la definizione:

£$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$£

dove £$n!$£ indica il fattoriale di £$n$£, cioè il prodotto degli interi da £$1$£ a £$n$£.
È importante ricordare che deve valere £$k\le n$£ come condizione di esistenza delle soluzioni.

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