Simulazione 10 dicembre 2015 - Quesiti sul calcolo delle derivate

Il quesito 4 della simulazione di seconda prova recita:

Data la funzione:
£$f(x)=\begin{cases} x^3 \quad 0\le x\le 2 \\ x^2-kx+h \quad 2< x \le 4 \end{cases}$£
Determinare i parametri £$h$£ e £$k$£ in modo che £$f(x)$£ sia derivabile in tutto l'intervallo £$[0, 4]$£.

Per risolvere correttamente il quesito 4 della simulazione devi conoscere la definizione di funzione continua e di funzione derivabile.
Te le ricordiamo qui:

• una funzione è continua in un punto £$c$£ del suo dominio se il limite destro £$x\to c^{+}$£ e il limite sinistro £$x\to c^-$£ esistono, sono finiti e uguali e coincidono con il valore della funzione in £$c$£ (cioè £$f(c)$£);
• una funzione è derivabile in un punto £$c$£ se esistono, finite e uguali, le derivate destra e sinistra della funzione.

Qui basta applicare le definizioni e trovare i valori che rendono la funzione definita a tratti continua e derivabile.

Ecco il testo del quesito 8 della simulazione della prova di maturità:

Determina, utilizzando la definizione, la derivata prima della seguente funzione: £$y=sen\,2x$£ e generalizza il risultato per £$y=sen\,nx$£ con £$n \in \mathbb{N}$£.

Quindi per risolvere questo quesito basta calcolare la derivata di una funzione. Ed è anche facile, perché è la derivata di una funzione goniometrica. E qui sta l'inghippo: devi calcolare la derivata usando la definizione. Ma qual è?

La derivata di una funzione £$f(x)$£ è il limite del rapporto incrementale per l'incremento che tende a £$0$£:

£$f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$£.

Basta quindi calcolare il limite, usando i limiti notevoli e le formule di duplicazione delle funzioni goniometriche.

Il quesito 9 della simulazione unisce conoscenze di fisica a quelle di matematica. Ecco il testo:

Un oggetto viene lanciato verso l’alto; supponendo che £$h(t)=40t-2t^2$£ sia la legge oraria del suo moto espressa in metri, determina la funzione velocità e la quota massima raggiunta dall’oggetto.

Ci sono due modi per risolverlo.
Metodo fisico: la funzione velocità è la derivata della legge oraria (spazio) rispetto al tempo. Una volta trovato poi il punto di massimo, cioè l'istante £$t$£ in cui la velocità si annulla, troviamo l'altezza massima sostituendo questo valore nella legge oraria.

Metodo algebrico: il testo chiede di trovare la velocità. Quindi dobbiamo derivare la legge oraria rispetto al tempo. Vediamo poi che la funzione che rappresenta la legge oraria del moto è una parabola con la concavità verso il basso. Quindi l'altezza massima coincide con l'ordinata del vertice. Se ti ricordi la formula per calcolare questo valore, il gioco è fatto.