Simulazione 10 dicembre 2015 - Quesiti sul calcolo delle derivate

Soluzione dei quesiti 4, 8 e 9 della simulazione di seconda prova di maturità del 10 dicembre 2015. Per risolvere questi quesiti è necessario conoscere bene il calcolo delle derivate, la sua definizione e l'applicazione a concetti di fisica.

Le derivate non possono certo mancare in una secondaprova di matematica della maturità. Soprattutto nei quesiti, conoscere come calcolare le derivate di una funzione è importantissimo!
Nella simulazione di seconda prova del 10 dicembre 2015, per risolvere i quesiti 4, 8 e 9 devi saper calcolare le derivate e sapere quando una funzione è derivabile in un punto.
In questa lezione trovi la soluzione dei quesiti risolvibili con le derivate.
Prima di vedere la soluzione, fai un salto alle nostre lezioni per un ripasso!

Sei pronto? Preparati alla maturità con noi!

Contenuti di questa lezione su: Simulazione 10 dicembre 2015 - Quesiti sul calcolo delle derivate

Soluzione quesito 4
Soluzione quesito 8
Soluzione quesito 9

Accedi per sempre a tutte le lezioni FREE con video ed esercizi spiegati!

Soluzione quesito 4

Il quesito 4 della simulazione di seconda prova recita:

Data la funzione:
£$f(x)=\begin{cases} x^3 \quad 0\le x\le 2 \\ x^2-kx+h \quad 2< x \le 4 \end{cases}$£
Determinare i parametri £$h$£ e £$k$£ in modo che £$f(x)$£ sia derivabile in tutto l'intervallo £$[0, 4]$£.

Per risolvere correttamente il quesito 4 della simulazione devi conoscere la definizione di funzione continua e di funzione derivabile.
Te le ricordiamo qui:

  • una funzione è continua in un punto £$c$£ del suo dominio se il limite destro £$x\to c^{+}$£ e il limite sinistro £$x\to c^-$£ esistono, sono finiti e uguali e coincidono con il valore della funzione in £$c$£ (cioè £$f(c)$£);
  • una funzione è derivabile in un punto £$c$£ se esistono, finite e uguali, le derivate destra e sinistra della funzione.

Qui basta applicare le definizioni e trovare i valori che rendono la funzione definita a tratti continua e derivabile.

Soluzione quesito 8

Ecco il testo del quesito 8 della simulazione della prova di maturità:

Determina, utilizzando la definizione, la derivata prima della seguente funzione: £$y=sen\,2x$£ e generalizza il risultato per £$y=sen\,nx$£ con £$n \in \mathbb{N}$£.

Quindi per risolvere questo quesito basta calcolare la derivata di una funzione. Ed è anche facile, perché è la derivata di una funzione goniometrica. E qui sta l'inghippo: devi calcolare la derivata usando la definizione. Ma qual è?

La derivata di una funzione £$f(x)$£ è il limite del rapporto incrementale per l'incremento che tende a £$0$£:

£$f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$£.

Basta quindi calcolare il limite, usando i limiti notevoli e le formule di duplicazione delle funzioni goniometriche.

Soluzione quesito 9

Il quesito 9 della simulazione unisce conoscenze di fisica a quelle di matematica. Ecco il testo:

Un oggetto viene lanciato verso l’alto; supponendo che £$h(t)=40t-2t^2$£ sia la legge oraria del suo moto espressa in metri, determina la funzione velocità e la quota massima raggiunta dall’oggetto.

Ci sono due modi per risolverlo.
Metodo fisico: la funzione velocità è la derivata della legge oraria (spazio) rispetto al tempo. Una volta trovato poi il punto di massimo, cioè l'istante £$t$£ in cui la velocità si annulla, troviamo l'altezza massima sostituendo questo valore nella legge oraria.

Metodo algebrico: il testo chiede di trovare la velocità. Quindi dobbiamo derivare la legge oraria rispetto al tempo. Vediamo poi che la funzione che rappresenta la legge oraria del moto è una parabola con la concavità verso il basso. Quindi l'altezza massima coincide con l'ordinata del vertice. Se ti ricordi la formula per calcolare questo valore, il gioco è fatto.

Sconti da paura
Sconti da paura