Simulazione 10 dicembre 2015 - Quesiti sul calcolo dei limiti

I quesiti 5, 7 e 10 della simulazione di matematica della maturità si risolvono con il calcolo dei limiti. Trovi tutte le soluzioni dei quesiti spiegata. Allenati con le nostre videolezioni!

Alla base dell'analisi matematica c'è il calcolo dei limiti di una funzione. Anche nei quesiti della seconda prova di maturità, i limiti sono fondamentali. Infatti nella risoluzione dei quesiti è richiesta una buona conoscenza del calcolo di limiti, limiti notevoli e anche della definizione di limite di una funzione.
I quesiti risolvibili con il calcolo dei limiti sono semplici se ti sei allenato con limiti notevoli e confronto di infiniti o infinitesimi.
Qui trovi la soluzione dei quesiti 5, 7 e 10, dove tutto ciò che devi fare è calcolare i limiti di una funzione. Facile no?
Hai dei dubbi e vuoi ripassare? Qui trovi le lezioni utili per risolvere i quesiti:

Contenuti di questa lezione su: Simulazione 10 dicembre 2015 - Quesiti sul calcolo dei limiti

Soluzione quesito 5
Soluzione quesito 7
Soluzione quesito 10

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Soluzione quesito 5

Il quesito 5 della simulazione di matematica dice:

Determinare l’equazione dell’asintoto obliquo del grafico della funzione:

£$f(x)=\frac{x}{2^{\frac{1}{x}}+1}$£.

Per risolvere questo quesito, è sufficiente ricordarsi come calcolare un asintoto obliquo. Per prima cosa, deve valere £$\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=\infty$£. Se ciò accade:

  • calcola £$\lim\limits_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x}$£. Se il limite è finito, allora coincide con £$m$£ coefficiente angolare dell'asintoto. Se invece il limite è infinito, la funzione non ha asintoto obliquo;
  • calcola £$\lim\limits_{x\to \infty}f(x)-mx $£. Il risultato è £$q$£, il termine noto, detto anche intercetta, dell'asintoto obliquo.

Soluzione quesito 7

Il quesito 7 della simulazione della seconda prova di matematica è un calcolo di un limite. Il testo dice:

Data la funzione £$f(x)=\frac{1}{2}x^2\ln(x)- \frac{1}{4}x^2$£, dopo aver determinato il campo di esistenza ricerca l’eventuale asintoto verticale.

Per prima cosa, dobbiamo trovare il campo di esistenza, o meglio, dominio della funzione. In questo caso, l'unica condizione è che l'argomento del logaritmo sia positivo, quindi £$D=(0,+\infty)$£. In tutti i punti del dominio la funzione è continua, quindi la ricerca dell'eventuale asintoto verticale è da farsi in £$x=0$£.

Una funzione ha asintoto verticale se £$\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=\infty$£, quindi per risolvere l'esercizio, basta calcolare:

£$\lim\limits_{x\to 0} \frac{1}{2}x^2\ln(x)- \frac{1}{4}x^2$£

e verificare se sia uguale a £$\infty$£ oppure no.

Soluzione quesito 10

Ecco il testo del quesito 10 della simulazione della seconda prova di maturità:

Analizza il grafico della funzione £$y=\frac{|x-2|}{x-2}\cdot \ln(x-1)$£ e studiane i punti di discontinuità.
Dopo aver individuato il tipo di discontinuità scrivi l’espressione della funzione che può essere ottenuta con un prolungamento per continuità.

Per prima cosa, dobbiamo trovare i punti di discontinuità. Ma per farlo, dobbiamo trovare il dominio della funzione. Sappiamo che l'argomento del logaritmo deve essere positivo, quindi £$x-1>0 \to x>1$£ ma abbiamo £$x-2$£ al denominatore che deve essere diverso da £$0$£. Allora il dominio è £$D=(1,2)\cup (2,+\infty)$£
I punti di discontinuità sono da cercare negli estremi del dominio. Quindi i candidati sono £$x=1$£ e £$x=2$£. Per risolvere il quesito dobbiamo calcolare:

£$\lim\limits_{x\to 1^+}\frac{|x-2|}{x-2}\cdot \ln(x-1)$£

£$\lim\limits_{x \to 2^{\pm}}\frac{|x-2|}{x-2}\cdot \ln(x-1)$£

e, in base ai risultati, riconoscere il tipo di discontinuità.

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