Simulazione 10 dicembre 2015 - Quesiti sul calcolo dei limiti

I quesiti 5, 7 e 10 della simulazione di matematica della maturità si risolvono con il calcolo dei limiti. Trovi tutte le soluzioni dei quesiti spiegata. Allenati con le nostre videolezioni!

2019-05-15 09:19:16

Alla base dell'analisi matematica c'è il calcolo dei limiti di una funzione. Anche nei quesiti della seconda prova di maturità, i limiti sono fondamentali. Infatti nella risoluzione dei quesiti è richiesta una buona conoscenza del calcolo di limiti, limiti notevoli e anche della definizione di limite di una funzione.
I quesiti risolvibili con il calcolo dei limiti sono semplici se ti sei allenato con limiti notevoli e confronto di infiniti o infinitesimi.
Qui trovi la soluzione dei quesiti 5, 7 e 10, dove tutto ciò che devi fare è calcolare i limiti di una funzione. Facile no?
Hai dei dubbi e vuoi ripassare? Qui trovi le lezioni utili per risolvere i quesiti:

Contenuti di questa lezione su: Simulazione 10 dicembre 2015 - Quesiti sul calcolo dei limiti

Soluzione quesito 5
Soluzione quesito 7
Soluzione quesito 10

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Soluzione quesito 5

Il quesito 5 della simulazione di matematica dice:

Determinare l’equazione dell’asintoto obliquo del grafico della funzione:

£$f(x)=\frac{x}{2^{\frac{1}{x}}+1}$£.

Per risolvere questo quesito, è sufficiente ricordarsi come calcolare un asintoto obliquo. Per prima cosa, deve valere £$\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=\infty$£. Se ciò accade:

  • calcola £$\lim\limits_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x}$£. Se il limite è finito, allora coincide con £$m$£ coefficiente angolare dell'asintoto. Se invece il limite è infinito, la funzione non ha asintoto obliquo;
  • calcola £$\lim\limits_{x\to \infty}f(x)-mx $£. Il risultato è £$q$£, il termine noto, detto anche intercetta, dell'asintoto obliquo.

Soluzione quesito 7

Il quesito 7 della simulazione della seconda prova di matematica è un calcolo di un limite. Il testo dice:

Data la funzione £$f(x)=\frac{1}{2}x^2\ln(x)- \frac{1}{4}x^2$£, dopo aver determinato il campo di esistenza ricerca l’eventuale asintoto verticale.

Per prima cosa, dobbiamo trovare il campo di esistenza, o meglio, dominio della funzione. In questo caso, l'unica condizione è che l'argomento del logaritmo sia positivo, quindi £$D=(0,+\infty)$£. In tutti i punti del dominio la funzione è continua, quindi la ricerca dell'eventuale asintoto verticale è da farsi in £$x=0$£.

Una funzione ha asintoto verticale se £$\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=\infty$£, quindi per risolvere l'esercizio, basta calcolare:

£$\lim\limits_{x\to 0} \frac{1}{2}x^2\ln(x)- \frac{1}{4}x^2$£

e verificare se sia uguale a £$\infty$£ oppure no.

Soluzione quesito 10

Ecco il testo del quesito 10 della simulazione della seconda prova di maturità:

Analizza il grafico della funzione £$y=\frac{|x-2|}{x-2}\cdot \ln(x-1)$£ e studiane i punti di discontinuità.
Dopo aver individuato il tipo di discontinuità scrivi l’espressione della funzione che può essere ottenuta con un prolungamento per continuità.

Per prima cosa, dobbiamo trovare i punti di discontinuità. Ma per farlo, dobbiamo trovare il dominio della funzione. Sappiamo che l'argomento del logaritmo deve essere positivo, quindi £$x-1>0 \to x>1$£ ma abbiamo £$x-2$£ al denominatore che deve essere diverso da £$0$£. Allora il dominio è £$D=(1,2)\cup (2,+\infty)$£
I punti di discontinuità sono da cercare negli estremi del dominio. Quindi i candidati sono £$x=1$£ e £$x=2$£. Per risolvere il quesito dobbiamo calcolare:

£$\lim\limits_{x\to 1^+}\frac{|x-2|}{x-2}\cdot \ln(x-1)$£

£$\lim\limits_{x \to 2^{\pm}}\frac{|x-2|}{x-2}\cdot \ln(x-1)$£

e, in base ai risultati, riconoscere il tipo di discontinuità.

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