Simulazione 29 aprile 2016 - Soluzione quesito 10

Nella seconda prova di matematica alla maturità, devi svolgere cinque quesiti (esercizi brevi) su dieci. Qui trovi la soluzione del quesito 10 della simulazione della seconda prova di maturità del 29 aprile 2016.

2019-02-21 19:29:16

Ecco la soluzione del quesito 10 della simulazione di seconda prova di matematica della maturità del 29 aprile 2016.

Per risolverlo, ti suggeriamo di ripassare:

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Quesito 10 - Testo - Simulazione maturità 29 aprile
Quesito 10 - Soluzione - Simulazione maturità 29 aprile

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Quesito 10 - Testo - Simulazione maturità 29 aprile

Scrivere l'equazione della circonferenza £$C$£ che ha il centro sull'asse £$y$£ ed è tangente al grafico £$G_f$£ di £$f(x)=x^3-3{\kern 1pt}x^2$£ nel suo punto di flesso.

Quesito 10 - Soluzione - Simulazione maturità 29 aprile

Si tratta in pratica di un esercizio di geometria analitica sulla circonferenza. Dobbiamo prima determinare la retta alla quale la circonferenza dovrà essere tangente e il punto di tangenza. Ci servono le derivate prima e seconda di £$f(x)=x^3-3x^2$£:

$$f'(x)=3x^2-6x\;;\;\;\;f''(x)=6x-6$$

L'ascissa del punto di flesso del grafico di £$f$£ si trova risolvendo l'equazione £$f''(x)=0$£, cioè £$6x-6=0$£ da cui £$x=1$£; l'ordinata del flesso è £$f(1)=-2$£.

Dire che la circonferenza è tangente al grafico di £$f$£ nel punto £$A\;(1,-2)$£ significa dire che la circonferenza è tangente in £$A$£ alla retta tangente al grafico della funzione in quel punto. L'equazione di quest'ultima retta è

$$y=-2+f'(1)\cdot (x-1)\;\;\;\textrm{cioè}\;\;\;\;y=-2-3(x-1)\;\;\;\;\textrm{cioè}\;\;\;\;y=-3x+1$$

Qui ha inizio l'esercizio di geometria analitica, che possiamo formulare come segue:

"Determinare la circonferenza con il centro sull'asse £$y$£ tangente in £$A\;(1,-2)$£ alla retta £$t$£ di equazione £$y=-3x+1$£".

Il centro della circonferenza deve appartenere, oltre che all'asse £$y$£, alla retta £$s$£ passante per £$A$£ e perpendicolare a £$t$£. L'equazione di £$s$£ è

$$y=-2+\frac{1}{3}(x-1)\;\;\;\textrm{cioè}\;\;\;\;y=\frac{1}{3}x-\frac{7}{3}\,.$$

Il punto in cui £$s$£ interseca l'asse £$y$£ è £$C\,\bigl(0,-\frac{7}{3}\bigr)$£. Questo è il centro della circonferenza. Il raggio è la misura £$\overline{CA}=\sqrt{1^2+\bigl(\frac{1}{3}\bigr)^2}=\frac{1}{3}\sqrt{10}$£. Abbiamo ora centro e raggio della circonferenza. La sua equazione è quindi

$$x^2+\Bigl(y+\frac{7}{3}\Bigr)^2=\frac{10}{9}\;\;\;\textrm{cioè}\;\;\;\;x^2+y^2+\frac{14}{3}y+\frac{13}{3}=0$$

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