Simulazione 29 aprile 2016 - Soluzione quesito 10

Scrivere l'equazione della circonferenza £$C$£ che ha il centro sull'asse £$y$£ ed è tangente al grafico £$G_f$£ di £$f(x)=x^3-3{\kern 1pt}x^2$£ nel suo punto di flesso.

Si tratta in pratica di un esercizio di geometria analitica sulla circonferenza. Dobbiamo prima determinare la retta alla quale la circonferenza dovrà essere tangente e il punto di tangenza. Ci servono le derivate prima e seconda di £$f(x)=x^3-3x^2$£:

$$f'(x)=3x^2-6x\;;\;\;\;f''(x)=6x-6$$

L'ascissa del punto di flesso del grafico di £$f$£ si trova risolvendo l'equazione £$f''(x)=0$£, cioè £$6x-6=0$£ da cui £$x=1$£; l'ordinata del flesso è £$f(1)=-2$£.

Dire che la circonferenza è tangente al grafico di £$f$£ nel punto £$A\;(1,-2)$£ significa dire che la circonferenza è tangente in £$A$£ alla retta tangente al grafico della funzione in quel punto. L'equazione di quest'ultima retta è

$$y=-2+f'(1)\cdot (x-1)\;\;\;\textrm{cioè}\;\;\;\;y=-2-3(x-1)\;\;\;\;\textrm{cioè}\;\;\;\;y=-3x+1$$

Qui ha inizio l'esercizio di geometria analitica, che possiamo formulare come segue:

"Determinare la circonferenza con il centro sull'asse £$y$£ tangente in £$A\;(1,-2)$£ alla retta £$t$£ di equazione £$y=-3x+1$£".

Il centro della circonferenza deve appartenere, oltre che all'asse £$y$£, alla retta £$s$£ passante per £$A$£ e perpendicolare a £$t$£. L'equazione di £$s$£ è

$$y=-2+\frac{1}{3}(x-1)\;\;\;\textrm{cioè}\;\;\;\;y=\frac{1}{3}x-\frac{7}{3}\,.$$

Il punto in cui £$s$£ interseca l'asse £$y$£ è £$C\,\bigl(0,-\frac{7}{3}\bigr)$£. Questo è il centro della circonferenza. Il raggio è la misura £$\overline{CA}=\sqrt{1^2+\bigl(\frac{1}{3}\bigr)^2}=\frac{1}{3}\sqrt{10}$£. Abbiamo ora centro e raggio della circonferenza. La sua equazione è quindi

$$x^2+\Bigl(y+\frac{7}{3}\Bigr)^2=\frac{10}{9}\;\;\;\textrm{cioè}\;\;\;\;x^2+y^2+\frac{14}{3}y+\frac{13}{3}=0$$