Simulazione 29 aprile 2016 - Soluzione quesito 2

Nella seconda prova di matematica alla maturità, devi svolgere cinque quesiti (esercizi brevi) su dieci. Qui trovi la soluzione del quesito 2 della simulazione della seconda prova di maturità del 29 aprile 2016.

La scelta dei cinque quesiti da svolgere nella seconda prova di maturità è fondamentale. Infatti una scelta accurata ti permette di ottenere il massimo dei punti con il minimo sforzo.
In questa lezione, trovi la soluzione del quesito 2 della simulazione del 29 aprile 2016:

Per risolverlo, ti suggeriamo di ripassare come calcolare i punti di discontinuità di una funzione.

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Quesito 2 - Testo - Simulazione maturità 29 aprile

Verificare che la funzione

\[f\left( x \right) = \frac{1}{{{3^{{\textstyle{1 \over x}}}} + 1}}\]

ha una discontinuità di prima specie ("a salto"), mentre la funzione

\[f\left( x \right) = \frac{x}{{{3^{{\textstyle{1 \over x}}}} + 1}}\]

ha una discontinuità di terza specie ("eliminabile").

Quesito 2 - Soluzione - Simulazione maturità 29 aprile

Guardando le due funzioni, ci accorgiamo che entrambe hanno come dominio l'insieme £$\mathbb{R} \setminus \{0\}$£ perché l'esponente del £$3$£ al denominatore è £$\frac{1}{x}$£ e quindi £$x\ne 0$£. Tolto questo punto, entrambe le funzioni sono continue ovunque perché sono rapporti di funzioni continue.
La discontinuità andrà ricercata quindi nel punto £$x=0$£.

Per fare questo, dovremo calcolare i limiti per £$x\to0$£, da destra e da sinistra. Abbiamo che

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{1}{{{3^{\frac{1}{x}}} + 1}} = 1\;\;\;\;\;\;\;{\rm{e}}\;\;\;\;\;\;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{{3^{\frac{1}{x}}} + 1}} = 0\]

e quindi in £$x=0$£ la funzione £$f(x)$£ ha una discontinuità di prima specie (o salto) perché i limiti sono entrambi finiti, ma diversi.

Invece, per la funzione £$g(x)$£

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{x}{{{3^{\frac{1}{x}}} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{x}{{{3^{\frac{1}{x}}} + 1}} = 0\]

I limiti, da destra e da sinistra sono finiti e uguali. Ma in £$x=0$£ la funzione £$g(x)$£ non è definita e quindi £$x=0$£ è un punto di discontinuità di terza specie (o eliminabile) per £$f(x)=\frac{x}{3^{\frac{1}{x}}+1}$£

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