Simulazione 29 aprile 2016 - Soluzione quesito 6

Nella seconda prova di matematica alla maturità, devi svolgere cinque quesiti (esercizi brevi) su dieci. Qui trovi la soluzione del quesito 6 della simulazione della seconda prova di maturità del 29 aprile 2016.

La scelta dei cinque quesiti da svolgere nella seconda prova di maturità è fondamentale. Infatti una scelta accurata ti permette di ottenere il massimo dei punti con il minimo sforzo.

In questa lezione, trovi la soluzione del quesito 6 della simulazione del 29 aprile 2016:

Per risolverlo, ti suggeriamo di ripassare le equazioni differenziali e i problemi di Cauchy

Accedi per sempre a tutte le lezioni FREE con video ed esercizi spiegati!

Quesito 6 - Testo - Simulazione maturità 29 aprile

Determinare la soluzione particolare della equazione differenziale £$y'-x=xy$£, verificante la condizione iniziale £$y(0)= 2$£.

Quesito 6- Soluzione - Simulazione maturità 29 aprile

Dobbiamo trovare la soluzione del problema di Cauchy

$$\begin{cases} y'=xy+x \\ y(0)=2 \end{cases}$$

Iniziamo risolvendo l'equazione differenziale £$y'=xy+x$£. È un'equazione differenziale a variabili separabili, quindi separiamo le variabili:

£$y'=x(y+1) \to \frac{dy}{y+1}=x\,dx$£ e integriamo a sinistra e a destra dell'uguale. Ovviamente escludiamo il valore £$y=-1$£

£$\int \frac{dy}{y+1}=\int x\,dx \to \ln|y+1|=\frac{1}{2}x^2+c \to |y+1|=e^{\frac{1}{2}x^2}\cdot e^c$£

Studiamo il modulo £$|y+1|=\begin{cases} y+1 \ \ \ \text{ se } y>-1 \\ -y-1 \text{ se } y < -1 \end{cases}$£

Ma la condizione iniziale è £$y(0)=2 > 0 $£ quindi prendiamo l'espressione della funzione valida nell'intervallo £$ y > -1$£, cioè

$$y+1=e^{\frac{1}{2}x^2}\cdot e^{c} \to y=e^{\frac{1}{2}x^2}\cdot e^c-1$$

Per trovare il valore di £$c$£, sostituiamo la condizione iniziale £$y(0)=2$£ e abbiamo

$$2=e^{0+c} -1 \to e^c =3 $$

Allora la soluzione del problema di Cauchy è la funzione

$$y(x)=3e^{\frac{1}{2}x^2}-1$$

9 mesi di Premium a 50,00 euro
9 mesi di Premium a 50,00 euro