Nella seconda prova di matematica alla maturità, devi svolgere cinque quesiti (esercizi brevi) su dieci. Qui trovi la soluzione del quesito 8 della simulazione della seconda prova di maturità del 29 aprile 2016.
Ecco la soluzione del quesito 8 della simulazione di seconda prova di matematica della maturità del 29 aprile 2016.
Per risolvere questo quesito, puoi ripassare come calcolare le derivate.
Una sfera ha il raggio che aumenta al passare del tempo secondo una data funzione £$r(t)$£. Calcolare il raggio della sfera nell'istante cui la velocità di crescita della superficie sferica e la velocità di crescita del raggio sono numericamente uguali.
La velocità di variazione di £$r(t)$£ (in crescita o in diminuzione) è per definizione la derivata £$r'(t)$£.
L'area della superficie sferica di raggio £$r(t)$£ è £$a(t)=4\pi(r(t))^2$£; la velocità con cui varia £$a(t)$£ è £$a'(t)=8\pi\cdot r(t)\cdot r'(t)$£.
Si vuole che queste due velocità siano "numericamente" uguali, ignorando cioè le unità di misura, necessariamente diverse per le due grandezze: £$r'(t)$£ rappresenta una lunghezza divisa per un tempo, potrebbe per esempio essere espressa in £$\frac{m}{s}$£ (metri al secondo);
£$a'(t)$£ rappresenterebbe allora una grandezza misurata in £$\frac{m^2}{s}$£.
Ora non ci resta che imporre l'uguaglianza:
$$r'(t)=8\pi\cdot r(t)\cdot r'(t)$$
Questa è ovviamente verificata in ogni istante £$t$£ per cui £$r'(t)=0$£. Se £$r'(t)\neq 0$£ deve valere £$8\pi\cdot r(t)=1$£, quindi
$$r(t)=\frac{1}{8\pi}$$
Questa è la soluzione richiesta. Non è possibile trovare i valori di £$t$£ soddisfacenti questa relazione, perché non è assegnata un'espressione per £$r(t)$£.
