Simulazione 29 aprile 2016 - Soluzione quesito 8

Nella seconda prova di matematica alla maturità, devi svolgere cinque quesiti (esercizi brevi) su dieci. Qui trovi la soluzione del quesito 8 della simulazione della seconda prova di maturità del 29 aprile 2016.

Ecco la soluzione del quesito 8 della simulazione di seconda prova di matematica della maturità del 29 aprile 2016.

Per risolvere questo quesito, puoi ripassare come calcolare le derivate.

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Quesito 8 - Testo - Simulazione matematica 29 aprile

Una sfera ha il raggio che aumenta al passare del tempo secondo una data funzione £$r(t)$£. Calcolare il raggio della sfera nell'istante cui la velocità di crescita della superficie sferica e la velocità di crescita del raggio sono numericamente uguali.

Quesito 8 - Soluzione - Simulazione matematica 29 aprile

La velocità di variazione di £$r(t)$£ (in crescita o in diminuzione) è per definizione la derivata £$r'(t)$£.

L'area della superficie sferica di raggio £$r(t)$£ è £$a(t)=4\pi(r(t))^2$£; la velocità con cui varia £$a(t)$£ è £$a'(t)=8\pi\cdot r(t)\cdot r'(t)$£.

Si vuole che queste due velocità siano "numericamente" uguali, ignorando cioè le unità di misura, necessariamente diverse per le due grandezze: £$r'(t)$£ rappresenta una lunghezza divisa per un tempo, potrebbe per esempio essere espressa in £$\frac{m}{s}$£ (metri al secondo);

£$a'(t)$£ rappresenterebbe allora una grandezza misurata in £$\frac{m^2}{s}$£.

Ora non ci resta che imporre l'uguaglianza:

$$r'(t)=8\pi\cdot r(t)\cdot r'(t)$$

Questa è ovviamente verificata in ogni istante £$t$£ per cui £$r'(t)=0$£. Se £$r'(t)\neq 0$£ deve valere £$8\pi\cdot r(t)=1$£, quindi

$$r(t)=\frac{1}{8\pi}$$

Questa è la soluzione richiesta. Non è possibile trovare i valori di £$t$£ soddisfacenti questa relazione, perché non è assegnata un'espressione per £$r(t)$£.

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