Maturità 2016: Problema 2 - Soluzione

Qui trovi il testo e la soluzione del problema 2 della seconda prova di matematica della sessione ordinaria della maturità 2016!

La soluzione del problema 2 della seconda prova di maturità 2016 svolta e spiegata.
Per risolverlo devi conoscere questi argomenti:

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Problema 2 - Introduzione

Nella figura 1 è rappresentato il grafico £$\Gamma$£ della funzione continua £$f: [0,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}$£, derivabile in £$(0,+\infty)$£, e sono indicate le coordinate di alcuni suoi punti.

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È noto che £$\Gamma$£ è tangente all'asse £$y$£ in £$A$£, che £$B$£ ed £$E$£ sono un punto di massimo e uno di minimo, che £$C$£ è un punto di flesso con tangente di equazione £$2x+y-8=0$£.

Nel punto £$D$£ la retta tangente ha equazione £$x+2y-5=0$£ e per £$x\ge 8$£ il grafico consiste in una semiretta passante per il punto £$G$£. Si ha inoltre che l'area della regione delimitata dall'arco £$ABCD$£, dall'asse £$x$£ e dall'asse £$y$£ vale £$11$£, mentre l'area della regione delimitata dall'arco £$DEF$£ e dall'asse £$x$£.

Problema 2 - Domanda 1

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In base alle informazioni disponibili, rappresenta indicativamente i grafici delle funzioni $$y=f'(x)$$ $$F(x)=\int_0^x f(t)\,dt$$ Quali sono i valori di £$f'(3)$£ e £$f'(5)$£? Motiva la tua risposta.

Problema 2 - Domanda 2

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Rappresenta, indicativamente, i grafici delle seguenti funzioni: $$y=\mid f'(x)\mid$$ $$y=\mid f(x)\mid '$$ $$y=\frac{1}{f(x)}$$

specificando l'insieme di definizione di ciascuna di esse.

Problema 2 - Domanda 3

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Determina i valori medi di £$y=f(x)$£ e di £$y=\mid f(x)\mid$£ nell'intervallo £$[0,8]$£, il valore medio di £$y=f'(x)$£ nell'intervallo £$[1,7]$£ e il valore medio di £$y=F(x)$£ nell'intervallo £$[9,10]$£.

Problema 2 - Domanda 4

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Scrivi le equazioni delle rette tangenti al grafico della funzione £$F(x)$£ nei suoi punti di ascisse £$0$£ e £$8$£, motivando le risposte.

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