Maturità 2017: Problema 1 - Soluzione
Qui trovi il testo e la soluzione del problema 1 della seconda prova di matematica della sessione ordinaria della maturità 2017!
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Problema 1 - Introduzione
Si può pedalare agevolmente su una bicicletta a ruote quadrate? A New York, al MoMath-Museum of Mathematics si può fare, in uno dei padigioni dedicati al divertimento matematico (figura 1). È però necessario che il profilo della pedana su cui il lato della ruota può scorrere soddisfi alcuni requisiti.
In figura 2 è riportata una rappresentazione della situazione nel piano cartesiano £$ Oxy $£: il quadrato di lato £$ DE = 2 $£ (in opportune unità di misura) e di centro £$ C $£ rappresenta la ruota della bicicletta, il grafico della funzione £$ f(x) $£ rappresenta il profilo della pedana.
Sulla base delle informazioni ricavabili dal grafico in figura 2, mostra, con le opportune argomentazioni, che la funzione:
$$ f(x) = \sqrt 2 - \frac{e^x + e^{-x}}{2} \ \ x \in \mathbb{R} $$
rappresenta adeguatamente il profilo della pedana per £$ x \in [-a, a] $£; determina inoltre il valore degli estremi £$ a $£ e £$ -a $£ dell'intervallo. Per visualizzare il profilo completo della pedana sulla quale la bicicletta potrà muoversi, si affiancano varie copie del grafico della funzione £$ f(x) $£ relativo all'intervalo £$ [-a, a] $£, come mostrato in figura 3.
Perché la bicicletta possa procedere agevolmente sulla pedana è necessario che:
- a sinistra e a destra dei punti di non derivabilità i tratti del grafico siano ortogonali;
- la lunghezza del lato della ruota quadrata risulti pari alla lunghezza di una "gobba", cioè dell'arco di curva di equazione £$ y = f(x) $£ per £$ x \in [-a, a] $£.
Stabilisci se tali condizioni sono verificate. £$^1$£
£$ ^1 $£ In generale, la lunghezza dell'arco di curva avente equazione £$ y = \phi(x) $£ compreso tra le ascisse £$ x_1 $£ e £$ x_2 $£ è data da £$ \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{ 1 + (\phi '(x))^2} \ dx $£.
Considerando la similitudine dei triangoli rettangoli £$ ACL $£ e £$ ALM $£ in figura 4, e ricordando il significato geometrico della derivata, verifica che il valore dell'ordinata £$ d $£ del centro della ruota si mantiene costante durante il moto. Pertanto, al ciclista sembra di muoversi su una superficie piana.
Anche il grafico della funzione:
$$ f(x) = \frac{2}{\sqrt 3} - \frac{e^x + e^{-x}}{2} , \text{ per } x \in \left[ - \frac{ln(3)}{2}, \frac{ln(3)}{2} \right] $$
se replicato varie volte, può rappresentare il profilo di una pedana adatta a essere percorsa da una bicicletta con ruote molto particolari, aventi la forma di un poligono regolare.
Individua tale poligono regolare, motivando la risposta.
