Qui trovi il testo e la soluzione del problema 2 della seconda prova di matematica della sessione ordinaria della maturità 2017!
La soluzione del problema 2 della seconda prova di maturità 2017 svolta e spiegata.
Dobbiamo fare uno studio di funzione. Per risolverlo devi conoscere questi argomenti:
Consideriamo la funzione £$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $£, periodica di periodo £$ T = 4 $£ il cui grafico, nell'intervallo £$ [0, 4] $£, è il seguente:
Come si evince dalla figura 1, i tratti £$ OB, BD, DE $£ del grafico sono segmenti i cui estremi hanno coordinate £$ O(0;0), B(1;1), D(3; -1), E(4;0) $£.
Stabilisci in quali punti del suo insieme di definizione la funzione £$ f $£ è continua e in quali è derivabile e verifica l'esistenza dei limiti: £$ \lim_{x \to + \infty} f(x) $£ e £$ lim_{x \to + \infty} \frac{f(x)}{x} $£; qualora esistano, determinane il valore. Rappresenta inoltre, per £$ x \in [0,4] $£, i grafici delle funzioni:
$$ g(x) = f'(x) $$
$$ h(x) = \int_0^x f(t) \ dt $$
Considera la funzione:
$$ s(x) = sen(bx) $$
con £$ b $£ costante reale positiva; determina £$ b $£ in modo che £$ s(x) $£ abbia lo stesso periodo di £$ f(x)$£.
Dimostra che la porzione quadrata di piano £$ OABC $£ in figura 1 viene suddivisa dai grafici di £$ f(x) $£ e £$ s(x) $£ in 3 parti distinte e determina le probabilità che un punto preso a caso all'interno del quadrato £$ OABC $£ ricada in ciascuna delle 3 parti individuate.
Considerando ora le funzioni:
$$ f(x)^2 \text{ e } s(x)^2 $$
discuti, anche con argomentazioni qualitative, le variazioni (in aumento o in diminuizione) dei 3 valori di probabilità determinati al punto precedente.
Determina infine il volume del solido generato dalla rotazione attorno all'asse £$ y $£ della porzione di piano compresa tra il grafico della funzione £$ h $£ per £$ x \in [0, 3] $£ e l'asse delle £$ x $£.
