Maturità 2018: Problema 1 - Soluzione

Con riferimento all'esempio, determina l'espressione della funzione £$ y = f(x) $£ e l'equazione della curva £$ \Lambda $£, così da poter effettuare una prova e verificare il funzionamento della macchina.

Vengono proposti a un cliente due tipi diversi di disegno, derivanti rispettivamente dalla funzioni £$ a_n(x) = 1 - x^n $£ e £$b_n(x) = (1 - x)^n $£, considerate per £$ x \in [0, 1] $£, con £$ n $£ intero positivo.

• Verifica che al variare di £$ n $£ tutte queste funzioni rispettano le condizioni a), b) e c). Dette £$ A(n) $£ e £$ B(n) $£ le aree delle parti colorate delle mattonelle ottenute a partire da tali funzioni £$ a:n $£ e £$b:n $£, calcola £$ \lim\limits_{n \to + \infty} A(n) $£ e £$ \lim\limits_{n \to + \infty} B(n) $£ ed interpreta i risultati in termini geometrici.

Il cliente decide di ordinare 5000 mattonelle con il disegno derivato da £$ a_2(x) $£ e 5000 con quello derivato da £$ b_2(x) $£. La verniciatura viene effettuata da un braccio meccanico che, dopo aver depositato il colore, torna alla posizione iniziale sorvolando la mattonella lungo la diagonale. A causa di un malfunzionamento, durante la produzione delle 10 000 mattonelle si verifica con una probabilità del £$ 20\ \% $£ che il braccio meccanico lasci cadere una goccia di colore in un punto a caso lungo la diagonale, macchiando così la mattonella appena prodotta.

• Fornisci una stima motivata del numero di mattonelle che, avendo una macchia nella parte non colorata, risulteranno danneggiate al termine del ciclo di produzione.