Maturità 2018: Problema 1 - Soluzione

Qui trovi il testo e la soluzione del problema 1 della seconda prova di matematica della maturità 2018 per il Liceo Scientifico!

Appunti

Maturità 2018.

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Problema 1 - Testo

Devi programmare il funzionamento di una macchina che viene adoperata nella produzione industriale di mattonelle per pavimenti. Le mattonelle sono di forma quadrata di lato £$ 1 $£ (in un'opportuna unità di misura) e le fasi di lavoro sono le seguenti:

  • si sceglie una funzione £$ y = f(x) $£ definita e continua nell'intervallo £$ [0, 1] $£, che soddisfi le condizioni:
    1. £$ f(0) = 1 $£;
    2. £$ f(1) = 0 $£;
    3. £$ 0 < f(x) < 1 $£ per £$ 0 < x < 1 $£.
  • La macchina traccia il grafico £$ \Gamma $£ della funzione £$ y = f(x) $£ e i grafici simmetrici di £$ \Gamma$£ rispetto all'asse £$ y $£, all'asse £$ x $£ e all'origine £$ O $£, ottenendo in questo modo una curva chiusa £$ \Lambda $£, passante per i punti £$ (1; 0) , (0; 1), (-1; 0), (0; -1) $£, simmetrica rispetto agli assi cartesiani e all'origine, contenuta nel quadrato £$ Q $£ di vertici £$ (1; 1), (-1; 1), (-1; -1), (1; -1) $£.
  • La macchina costruisce la mattonella colorando di grigio l'interno della curva chiusa £$ \Lambda $£ e lasciando bianca la parte restante del quadrato £$ Q $£; vengono quindi mostrate sul display alcune mattonelle affiancate, per dare un'idea dell'aspetto del pavimento.

Il manuale d'uso riporta un esempio del processo realizzativo di una mattonella semplice:

La pavimentazione risultante è riportata di seguito:

Problema 1 - Domanda 1

Con riferimento all'esempio, determina l'espressione della funzione £$ y = f(x) $£ e l'equazione della curva £$ \Lambda $£, così da poter effettuare una prova e verificare il funzionamento della macchina.

Problema 1 - Domanda 2

Ti viene richiesto di costruire una mattonella con un disegno più elaborato che, oltre a rispettare le condizioni a), b) e c) descritte in precedenza, abbia £$ f'(0) = 0 $£ e l'area ella parte colorata pari al £$ 55 \ \% $£ dell'area dell'intera mattonella. A tale scopo, prendi in considerazione funzioni polinomiali di secondo grado e di terzo grado.

  • Dopo aver verificato che non è possibile realizzare quanto richiesto adoperando una funzione polinomiale di secondo grado, determina i coefficienti £$ a, b, c, d \in \Re $£ della funzione £$ f(x) $£ polinomiale di terzo grado che soddisfa le condizioni poste. Rappresenta infine in un piano cartesiano la mattonella risultante.

Problema 1 - Domanda 3

Vengono proposti a un cliente due tipi diversi di disegno, derivanti rispettivamente dalla funzioni £$ a_n(x) = 1 - x^n $£ e £$b_n(x) = (1 - x)^n $£, considerate per £$ x \in [0, 1] $£, con £$ n $£ intero positivo.

  • Verifica che al variare di £$ n $£ tutte queste funzioni rispettano le condizioni a), b) e c). Dette £$ A(n) $£ e £$ B(n) $£ le aree delle parti colorate delle mattonelle ottenute a partire da tali funzioni £$ a:n $£ e £$b:n $£, calcola £$ \lim\limits_{n \to + \infty} A(n) $£ e £$ \lim\limits_{n \to + \infty} B(n) $£ ed interpreta i risultati in termini geometrici.

Problema 1 - Domanda 4

Il cliente decide di ordinare 5000 mattonelle con il disegno derivato da £$ a_2(x) $£ e 5000 con quello derivato da £$ b_2(x) $£. La verniciatura viene effettuata da un braccio meccanico che, dopo aver depositato il colore, torna alla posizione iniziale sorvolando la mattonella lungo la diagonale. A causa di un malfunzionamento, durante la produzione delle 10 000 mattonelle si verifica con una probabilità del £$ 20\ \% $£ che il braccio meccanico lasci cadere una goccia di colore in un punto a caso lungo la diagonale, macchiando così la mattonella appena prodotta.

  • Fornisci una stima motivata del numero di mattonelle che, avendo una macchia nella parte non colorata, risulteranno danneggiate al termine del ciclo di produzione.