Maturità 2018: Problema 2 - Soluzione

Detto £$ \Gamma_k $£ il grafico della funzione, verifica che per qualsiasi valore del parametro £$ k $£ la retta £$ r_k $£, tangente a £$ \Gamma_k $£ nel punto di ascissa £$ 0 $£ e la retta £$ s_k $£, tangente a £$ \Gamma_k $£ nel punto di ascissa £$ 1 $£, si incontrano in un punto £$ M $£ di ascissa £$ \dfrac 23 $£.

Dopo aver verificato che £$ k = 1 $£ è il massimo intero positivo per cui l'ordinata del punto £$ M $£ è minore di £$ 10 $£, studia l'andamento della funzione £$ f_1(x) $£, determinandone i punti stazionari e di flesso tracciandone il grafico.

Detto £$ T $£ il triangolo delimitato dalle rette £$ r_1, s_1 $£ e dall'asse delle ascisse, determina la probabilità che, preso a caso un punto £$ P(x_P, y_P) $£ all'interno di £$ T $£, questo si trovi al di sopra di £$ \Gamma_1 $£ (cioè che si abbia £$ y_P > f_1(x) $£ per tale punto £$ P $£).

Nella figura è evidenziato un punto £$ N \in \Gamma_1 $£ e un tratto del grafico £$ \Gamma_1 $£. La retta normale a £$ \Gamma_1 $£ in £$ N $£ (vale a dire la perpendicolare alla retta tangente a £$ \Gamma_1 $£ in quel punto) Passa per l'origine degli assi £$ O $£. Il grafico £$ \Gamma_1 $£ possiede tre punti con questa proprietà. Dimostra, più in generale, che il grafico di un qualsiasi polinomio di grado £$ n > 0 $£ non può possedere più di £$ 2n - 1 $£ punti nei quali la retta normale al grafico passa per l'origine.