Problema 1 - Testo
Si considerino le seguenti funzioni:
£$ f(x) = ax^2 - x + b \quad $£ e £$ \quad g (x) = (ax + b) e^{2x - x^2} $£
- Provare che, comunque siano scelti i valori di £$ a $£ e £$ b $£ in £$ \mathbb{R} $£ con £$ a \ne 0 $£, la funzione £$ g $£ ammette un massimo e un minimo assoluti. Determinare i valori di £$ a $£ e £$ b $£ in corrispondenza dei quali i grafici delle due funzioni £$ f $£ e £$ g $£ si intersecano nel punto £$ A(2;1) $£.
- Si assuma, d'ora in avanti, di avere £$ a = 1 $£ e £$ b = - 1 $£. Studiare le due funzioni così ottenute, verificando che il grafico di £$ g $£ ammette un centro di simmetria e che i grafici di £$ f $£ e £$ g $£ sono tangenti nel punto £$ B(0;-1) $£. Determinare inoltre l'area della regione piana £$ S $£ delimitata dai grafici delle funzioni £$ f $£ e £$ g $£.
- Si supponga che nel riferimento £$ Oxy $£ le lunghezze siano espressi in metri (m). Si considerino tre fili conduttori rettilinei disposti perpendicolarmente al piano £$ Oxy $£ e passanti rispettivamente per i punti: £$ P_1 \left(\dfrac 32 ;0 \right), P_2 \left(\dfrac 32 ; 1 \right) $£ e £$ P_3 \left(\dfrac 32 ; - \dfrac 32 \right) $£.
I tre fili sono percorsi da correnti continue di intensità £$ i_1 = 2{,}0 \ A $£, £$ i_2 $£ e £$ i_3 $£. Il verso di £$ i_1 $£ è indicato in figura, mentre gli altri due versi non sono indicati.
Stabilire come varia la circuitazione del campo magnetico generato dalle correnti £$ i_1, i_2, i_3 $£ lungo il contorno di £$ S $£, a seconda dell'intensità e del verso di £$ i_2 $£ e £$ i_3 $£. - Si supponga, in assenza dei tre fili, che il contorno della regione £$ S $£ rappresenti il profilo di una spira conduttrice di resistenza £$ R = 0{,}20 \ \Omega $£. La spira è posta all'interno di un campo magnetico uniforme di intensità £$ B = 1{,}5 \cdot 10^{-3} \ T $£ perpendicolare alla regione £$ S $£. Facendo ruotare la spira intorno all'asse £$ x $£ con velocità angolare £$ \omega $£ costante, in essa si genera una corrente indotta la cui intensità massima è pari a £$ 5{,}0 \ mA$£. Determinare il valore di £$ \omega $£.
