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Come risolvere un esercizio di probabilità?
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La formula per calcolare la probabilità di un evento £$E$£ secondo la probabilità classica è £$P(E)=\frac{\text{casi favorevoli}}{\text{casi possibili}}$£
Da questa formula seguono i seguenti assiomi della probabilità classica:
Dati due eventi £$A$£ e £$B$£ l'evento unione £$A\cup B$£ si verifica se si verifica £$A$£ o £$B$£ o entrambi. La formula per calcolare la probabilità di £$A \cup B$£ è
$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$
dove £$A\cap B$£ è l'evento intersezione che si verifica se si verificano sia £$A$£ che £$B$£.
Se £$A$£ e £$B$£ sono incompatibili, cioè se £$P(A\cap B)=0$£ allora la formula della probabilità dell'evento £$A\cup B$£ diventa
$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$$
che è uno degli assiomi della probabilità classica.
Dati due eventi £$A$£ e £$B$£, l'evento £$B|A$£ (£$B$£ condizionato ad £$A$£) si verifica se si verifica £$B$£ sapendo che si è già verificato £$A$£.
La formula della probabilità condizionata è
$$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$$
dove £$P(A\cap B)$£ è la probabilità dell'evento intersezione.
Dati due eventi £$A$£ e £$B$£, il teorema di Bayes permette di calcolare la probabilità condizionata usando la formula
$$P(B|A)=\frac{P(A|B)\cdot P(B)}{P(A)}$$
o, equivalentemente,
$$P(A|B)=\frac{P(B|A)\cdot P(A)}{P(B)}$$
Per calcolare la formula dell'evento intersezione £$A \cap B$£ usiamo la formula della probabilità condizionata
$$P(A \cap B)=P(A|B)\cdot P(B)$$
$$P(A \cap B)=P(B|A)\cdot P(A)$$
Se i due eventi sono indipendenti allora vale la formula £$P(A \cap B)= P(A)\cdot P(B)$£.