Formulario di probabilità - Superiori

Come risolvere un esercizio di probabilità?

In questa lezione trovi tutte le formule di probabilità che ti servono per fare gli esercizi!

Appunti

In questa lezione puoi ripassare le formule di probabilità che ti servono per risolvere gli esercizi. In particolare trovi:

  • formula per calcolare la probabilità classica
  • formula per la probabilità dell'unione di eventi
  • formula per la probabilità dell'intersezione di eventi
  • formula della probabilità condizionata e teorema di Bayes

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Formula probabilità classica

La formula per calcolare la probabilità di un evento £$E$£ secondo la probabilità classica è £$P(E)=\frac{\text{casi favorevoli}}{\text{casi possibili}}$£

Da questa formula seguono i seguenti assiomi della probabilità classica:

  • £$0 \le P(E) \le 1$£
  • £$P(\text{evento impossibile})=0$£
  • £$P(\text{evento certo})=1$£
  • £$P(\overline{E})=1-P(E)$£ con £$\overline{E}$£ evento contrario dell'evento £$E$£.

Formula probabilità dell'unione di eventi

Dati due eventi £$A$£ e £$B$£ l'evento unione £$A\cup B$£ si verifica se si verifica £$A$£ o £$B$£ o entrambi. La formula per calcolare la probabilità di £$A \cup B$£ è

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$

dove £$A\cap B$£ è l'evento intersezione che si verifica se si verificano sia £$A$£ che £$B$£.

Se £$A$£ e £$B$£ sono incompatibili, cioè se £$P(A\cap B)=0$£ allora la formula della probabilità dell'evento £$A\cup B$£ diventa

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$$

che è uno degli assiomi della probabilità classica.

Formula probabilità condizionata

Dati due eventi £$A$£ e £$B$£, l'evento £$B|A$£ (£$B$£ condizionato ad £$A$£) si verifica se si verifica £$B$£ sapendo che si è già verificato £$A$£.
La formula della probabilità condizionata è

$$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$$

dove £$P(A\cap B)$£ è la probabilità dell'evento intersezione.

Teorema di Bayes

Dati due eventi £$A$£ e £$B$£, il teorema di Bayes permette di calcolare la probabilità condizionata usando la formula

$$P(B|A)=\frac{P(A|B)\cdot P(B)}{P(A)}$$

o, equivalentemente,

$$P(A|B)=\frac{P(B|A)\cdot P(A)}{P(B)}$$

Formula probabilità intersezione di eventi

Per calcolare la formula dell'evento intersezione £$A \cap B$£ usiamo la formula della probabilità condizionata

$$P(A \cap B)=P(A|B)\cdot P(B)$$

$$P(A \cap B)=P(B|A)\cdot P(A)$$

Se i due eventi sono indipendenti allora vale la formula £$P(A \cap B)= P(A)\cdot P(B)$£.