Scopri cosa sono varianza, scarto quadratico medio e deviazione standard. Impara ad utilizzare questi indici per analizzare i dati.

Come analizzare i dati: indici di variabilità

Scopri cosa sono gli indici di variabilità (campo di variazione, scarto semplice medio, varianza e deviazione standard) e a cosa servono: descrivere sinteticamente quanto i valori sono dispersi (cioè distanti) rispetto al valore centrale (alla media). Trovi tutto questo nella lezione, ricca di esempi e di esercizi svolti!

Pensavi che dopo aver imparato come calcolare la media fosse tutto finito? E invece no. O almeno, non basta solo la media aritmetica (o ponderata che sia) ad analizzare i dati statistici. Ti serve sapere anche come i dati sono distribuiti, cioè come variano. Ed è qui che entrano in gioco gli indici di variabilità.

Gli indici di variabilità, come la deviazione standard, lo scarto semplice medio e il campo di variazione sono molto importanti per riassumere alcune caratteristiche dei dati raccolti.
Il campo di variazione di una sequenza di numeri (che poi sono i dati) è la differenza tra il valore più grande e quello più piccolo. Fino a qui, tutto bene...
Lo scarto semplice medio £$S$£ di una sequenza di £$ n $£ numeri £$ X_1, X_2,..., X_n $£ è la media aritmetica dei valori assoluti delle differenze tra ogni singolo valore della sequenza e la media aritmetica £$M$£ della sequenza:

£$ S=\frac{|X_1- M|+...+|X_n-M|}{n} $£

Attenzione! Il valore assoluto della differenza tra ogni singolo valore e la media aritmetica £$M$£ rappresenta la distanza di ogni singolo valore dalla media.
La varianza e la deviazione standard sono molto legate: la varianza è la media aritmetica dei quadrati della differenza tra ogni singolo valore della sequenza e la media aritmetica della sequenza:

£$ \sigma^{2}=\frac{(X_1- M)^2+...+(X_n-M)^2}{n} $£

Ma questi valori sono al quadrato, e la media no. Quindi entra in gioco la deviazione standard (o scarto quadratico medio) che è la radice della varianza: £$\sigma = \sqrt{\sigma^{2}}$£
La deviazione standard £$\sigma$£ è un indice più utilizzato rispetto allo scarto semplice medio £$S$£, perché più sensibile alle piccole variazioni delle distribuzioni: è più preciso nel determinare quanto i valori sono dispersi rispetto al valore centrale.

Contenuti di questa lezione su: Come analizzare i dati: indici di variabilità

Campo di variazione
Scarto semplice medio
Varianza e deviazione standard

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Campo di variazione

Stai analizzando i dati a disposizione. Sai calcolare la media, la moda e la mediana. Ma sai quanto sono "lontani" i tuoi dati? Per capirlo, devi calcolare il campo di variazione: è semplicemente la differenza, in valore assoluto tra il valore maggiore e quello minore.

Un campo di variazione piccolo mi dice che i dati sono abbastanza "vicini" mentre se è grande abbiamo dati molto lontani tra loro.

Trovi gli esercizi su questi argomenti nella lezione successiva.

Scarto semplice medio

Quanto sono distanti i valori che hai dalla media? Per calcolare questa distanza, basta fare la differenza tra ciascun valore a disposizione e la media di tutti i valori, e poi mettere il valore assoluto (perché vogliamo una distanza).
Ma possiamo fare la media di queste distanze? Certo! Basta sommare le distanze trovate e dividere per in numero di valori.

La formula per calcolare lo scarto semplice medio è £$ \frac{|x_{1}-M|+\ldots + |x_{n}-M|}{n}$£

dove £$x_{i}$£ sono i nostri valori, £$M$£ la loro media aritmetica e £$n$£ il numero di valori che abbiamo.

Trovi gli esercizi su questi argomenti nella lezione successiva.

Varianza e deviazione standard

Per analizzare i dati statistici, gli indici di variabilità più usati sono la varianza e la deviazione standard (o scarto quadratico medio). La varianza è la somma delle differenze al quadrato tra i valori e la media, il tutto diviso £$n$£ cioè il numero di dati che abbiamo. La varianza si indica con £$\sigma^2$£ (sigma al quadrato). Però, l'informazione che ci dà la varianza non è allo stesso piano della media (perché abbiamo la somma delle distanze al quadrato) e non possiamo confrontarli facilmente.
Per un confronto migliore, usiamo la radice quadrata della varianza £$\sigma = \sqrt{\sigma^2}$£ e chiamiamo questo valore deviazione standard. Quale informazione ci dà? Ci dice in maniera più precisa degli altri indici, quanto e come i dati sono sparpagliati (o distribuiti) intorno alla media aritmetica.

Trovi gli esercizi su questi argomenti nella lezione successiva.