Affinità

£$\textbf{(3.83)}$£ Affinità nel piano

Si chiama affinità una trasformazione £$\alpha$£ del piano in sé che a ciascun punto £$P\,(x,y)$£ del piano associa il punto £$P'\,(X,Y)$£, le cui coordinate sono legate a quelle di £$P$£ da una relazione della forma:

$$\begin{cases} X=ax+by+p\\ Y=cx+dy+q \end{cases}\quad con\quad a,b,c,d,p,q \in \mathbb{R}$$

£$\textbf{(3.84)}$£ Affinità regolari

Un'affinità si dice regolare se è invertibile, cioè se, conoscendo £$P'\,(X,Y)$£ è sempre possibile determinare £$P\,(x,y)$£ tale che £$P'=\alpha (P)$£.
Condizione necessaria e sufficiente affinché un'affinità sia regolare è che risulti:

$$D=ad-bc\neq0$$

Il numero £$D$£ si chiama determinante dell'affinità £$\alpha$£.

£$\textbf{(3.86)}$£ Inversa di un'affinità regolare

Se £$\alpha$£ è un'affinità regolare rappresentata dalle equazioni (3.83), allora la sua inversa ha equazioni:

$$\begin{cases} x=\frac {d}{D}(X-p)-\frac {b}{D}(Y-q)\\ y=\frac {-c}{D}(X-p)+\frac {a}{D}(Y-q) \end{cases}$$