Funzione logaritmo

La funzione esponenziale con base £$a>0,\; a\neq 1\;$£ ha come dominio l'intero insieme £$\mathbb{R} \;$£dei numeri reali, e come codominio l'intervallo £$]0,+\infty[$£. La funzione è iniettiva, essendo strettamente crescente per £$a>1$£ e strettamente decrescente per £$0<a<1$£. Perciò esiste la funzione inversa, che ha come dominio l'intervallo £$]0,+\infty[$£ e come codominio £$\mathbb{R}\;$£.Tale inversa si chiama funzione logaritmo in base a.

La definizione comporta alcune immediate conseguenze:

$$\textbf{(6.10)}\qquad\forall x \in \mathbb{R},\; \log_a(a^x)=x$$

$$\textbf{(6.11)}\qquad\forall x \in ]0,+\infty[,\; a^{\log_a(x)}=x$$

Quest'ultima regola viene a volte ricordata con la frase:

il logaritmo in base a di x è l'esponente da dare ad a per ottenere x.

I grafici delle funzioni logaritmo sono simmettrici dei grafici delle rispettive funzioni esponenziali, rispetto alla retta £$y=x$£, in quanto funzioni inverse di queste. La simmetria è evidenziata nelle seguenti figure, nelle quali il grafico della funzione esponenziale è tratteggiato, quello della funzione logaritmo è a tratto intero; la prima figura si riferisce al caso di £$a>1$£ e la seconda al caso £$0<a<1$£.