Geometria analitica nello spazio: rette

Qui trovi le principali formule sulle rette della geometria dello spazio! Ti aiuteranno a risolvere i problemi e i quesiti della seconda prova di matematica che dovrai affrontare alla maturità!

In questa lezione trovi:

  • le equazioni parametriche di una retta nello spazio e la rappresentazione cartesiana
  • come passare dalle equazioni cartesiane alle parametriche
  • l'equazione del fascio di piani
  • come passare dalle equazioni parametriche alle cartesiane
  • come trovare una retta passante per due punti
  • condizioni di parallelismo e perpendicolarità tra due rette
  • rette parallele e perpendicolari ad un piano

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Rette nello spazio

£$\textbf{(8.13)}$£ Rette nello spazio: equazioni parametriche

Una retta £$r$£ dello spazio può essere rappresentata da equazioni parametriche aventi la seguente forma (£$t$£ indica il parametro):

$$\begin{cases}x = {x_0} + \ell \,t\\y = {y_0} + m\,t\\z = {z_0} + n\,t\end{cases}$$

con almeno uno tra £$\ell,\;m\;n$£ diverso da £$0$£. La retta così rappresentata passa per il punto £$P\,(x_0,y_0,z_0)$£ e ha la direzione del vettore £$\mathbf{v}=(\ell,m,n)$£.

£$\textbf{(8.14)}$£ Rette nello spazio: rappresentazione cartesiana

La rappresentazione cartesiana di una retta £$r$£ nello spazio si ottiene mediante il sistema formato dalle equazioni di due piani non paralleli, aventi in comune proprio la retta £$r$£:

$$\begin{cases}a\,x+b\,y+c\,z+d=0\\a'\,x+b'\,y+c'\,z+d'=0\end{cases} .$$

Osservazione. Poiché ci sono infiniti piani incidenti lungo la retta £$r$£, la stessa retta £$r$£ può essere rappresentata da infiniti sistemi del tipo su indicato, apparentemente del tutto diversi tra loro.

Dalle equazioni cartesiane alle parametriche

Dalle equazioni cartesiane alle parametriche

Fascio di piani aventi per asse una data retta £$r$£

£$\textbf{(8.16)}$£ Il fascio di piani avente per asse la retta £$r$£ è l'insieme di tutti i piani contenenti tale retta. Se una rappresentazione cartesiana di £$r$£ è

\[\left\{ \begin{array}{l}a\,x+b\,y+c\,z+d=0\\a'\,x+b'\,y+c'\,z+d'=0\end{array} \right.\]

allora i piani del fascio di asse £$r$£ hanno equazione

$$\alpha \cdot(a\,x+b\,y+c\,z+d)+\beta \cdot(a'\,x+b'\,y+c'\,z+d')=0$$

con £$\alpha$£, £$\beta$£ numeri reali qualunque, non entrambi uguali a £$0$£.
Il fascio si può rappresentare anche usando un solo parametro, sia £$k$£:

$$a\,x+b\,y+c\,z+d+k \cdot(a'\,x+b'\,y+c'\,z+d')=0$$

tenendo però presente che in questo modo un piano del fascio (uno solo) non viene rappresentato: si tratta del piano di equazione £$a'\,x+b'\,y+c'\,z+d'=0$£. La situazione è simile a quella che si verifica nella rappresentazione dei fasci di rette nel piano.

Dalle equazioni parametriche alle cartesiane

Dalle equazioni parametriche alle cartesiane

Rette per due punti

Rette per due punti

Rette parallele e perpendicolari

Rette parallele e perpendicolari

Rette complanari e rette sghembe

Rette complanari e rette sghembe

Rette parallele e perpendicolari ad un piano

Rette parallele e perpendicolari ad un piano
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