Integrale di Gauss

Qui trovi le principali formule sull'integrale di Gauss! Ti aiuteranno a risolvere i problemi e i quesiti della seconda prova di matematica che dovrai affrontare alla maturità!

In questa lezione trovi:

  • la formula dell'integrale di Gauss
  • la tabella dei principali valori
  • un esempio svolto

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L'integrale della funzione di Gauss

L'elevata complessità dei calcoli occorrenti per valutare il coefficiente binomiale £$\binom{n}{k}$£ quando £$n$£ è grande dà motivo per cercare formule approssimanti per espressioni contenenti tale coefficiente. L'applicazione della distribuzione di Poisson (7.38) è un esempio in tal senso.
Un'altra tecnica di approssimazione per calcoli riguardanti la distribuzione binomiale, in situazioni diverse da quelle di (7.38), è la seguente:
Sia £$X$£ una variabile aleatoria con distribuzione binomiale (cfr. 7.30), con i valori di £$n$£ e £$p$£ tali che il numero £$\sigma^2=n\cdot p\cdot (1-p)$£ (varianza di £$X$£) sia abbastanza grande (almeno £$10$£). Siano £$a$£, £$b$£, numeri reali, £$a<b$£, tali che l'intervallo £$[a,b]$£ non sia distante da £$0$£. Allora:

$$\textbf{(7.39)} \qquad P(n \, p+a\,\sigma \leq X \leq n\,p+b\,\sigma)\cong \frac {1}{\sqrt{2\pi}}\int_a^b e^{-\frac{1}{2}x^2}d\,x$$

dove £$\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}.$£

L'approssimazione fornita da (7.39) è tanto più precisa quanto più £$n$£ è grande, e quanto più il centro dell'intervallo £$[a,b]$£ è vicino a £$0$£.
L'integrale al secondo membro di (7.39) non è calcolabile elementarmente, perché non è possibile scrivere mediante le funzioni elementari una primitiva di £$e^{-\frac{1}{2}x^2}$£. Per questa ragione vi sono tabelle che riportano i valori di £$\Phi (x)=\frac {1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^x e^{-\frac{1}{2}t^2}d\,t$£ per diversi valori positivi di £$x$£.

$$\Phi (x) \text{ è una primitiva di }e^{-\frac{1}{2}x^2},\text{ perciò }\frac {1}{\sqrt{2\pi}}\int_a^b e^{-\frac{1}{2}x^2}d\,x=\Phi (b)-\Phi(a).$$

Nel caso in cui £$a$£ o £$b$£ siano negativi, cosicché i valori di £$\Phi(a)$£ o £$\Phi(b)$£ non figurano in tabella, neppure come valori approssimati, va tenuto presente che per ogni £$x \in \mathbb{R}$£

$$\Phi(-x)=1-\Phi(x).$$

Riportiamo qui di seguito una tabella essenziale dei valori di £$\Phi$£; ne esistono di assai più dettagliate.

Tabella dei valori

Tabella dei valori

Esempio svolto

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