Limiti notevoli e asintoti

Qui trovi le principali formule dei limiti notevoli e gli asintoti! Ti aiuteranno a risolvere i problemi e i quesiti della seconda prova di matematica che dovrai affrontare alla maturità!

In questa lezione trovi:

  • i limiti notevoli
  • come trovare gli asintoti verticali e orizzontali
  • come trovare gli asintoti obliqui

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Limiti notevoli

£$\textbf{(5.7)}$£ Si chiamano in questo modo alcuni limiti il cui valore è talvolta utile per il calcolo di altri limiti o per applicazioni diverse.

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0}}\frac {\text{sen }x}{x} =1\quad \mathop {\lim }\limits_{x \to {0}}\frac {e^ x-1}{x}=1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0}}\frac {\ln(1+x)}{x}=1\quad \mathop {\lim }\limits_{x \to {0}}\frac {(1+x)^ \alpha-1}{x}= \alpha \\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0}}\frac {a^x-1}{x}=\ln a\quad \mathop {\lim }\limits_{x \to {\pm \infty}}\big(1+ \frac{1}{x}\big)^x =e$$

È inoltre assai utile ricordare quanto segue, per calcolare i limiti di espressioni contenenti logaritmi o funzioni esponenziali.
Se si deve calcolare un limite che presenta una forma indeterminata causata dalla presenza di espressioni di tre tipi:

£$1)$£ logaritmo, avente limite £$+\infty$£ oppure £$- \infty$£

£$2)$£ potenza di £$x$£, polinomio, radicale, cioè, espressione algebrica, avente limite £$0$£ oppure £$+\infty$£ oppure £$- \infty$£

£$3)$£ funzione esponenziale, avente limite £$0$£ oppure £$+\infty$£

si terrà presente che le espressioni £$3)$£ prevalgono sulle £$2)$£ e che quest'ultime prevalgono su £$1)$£.

Vediamo alcuni esempi di applicazione di questa regola, dove £$\alpha$£ è un qualunque numero positivo e £$a$£ un qualunque numero maggiore di £$1$£ :

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {+\infty}} \frac {\overbrace{\ln x}^{+\infty}}{\underbrace{x^\alpha}_{+\infty}}=0,\qquad\qquad\qquad \mathop {\lim }\limits_{x \to {+\infty}} \frac {\overbrace{a^x}^{+\infty}}{\underbrace{x^\alpha}_{+\infty}}=+\infty,$$

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {+\infty}}\underbrace{x^\alpha}_{+\infty}-\underbrace{\ln x}_{-\infty}=+\infty,\qquad \qquad\qquad \mathop {\lim }\limits_{x \to {+\infty}}\underbrace{x^\alpha}_{+\infty}-\underbrace{a^x}_{-\infty}=-\infty $$

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^+}}\underbrace{x^\alpha}_{0}\cdot \underbrace{\ln x}_{-\infty}=0,\quad \qquad \qquad \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^+}}\underbrace{x^\alpha}_{0}\cdot \underbrace{a^{\frac{1}{x}}}_{+\infty}=+\infty $$

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^+}}\underbrace{ (\frac{1}{x^\alpha})}_{+\infty}\cdot \underbrace{a^{-\frac{1}{x}}}_{0}=0 $$

Asintoti per il grafico di una funzione

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Asintoti obliqui

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