Ripassiamo i punti di discontinuità

Una funzione è continua in un intervallo £$[a,b]$£ se per ogni punto £$x_0$£ dell'intervallo è sempre verificato che £$\lim\limits_{x \to x_0} f(x)=f(x_0)$£.

Se una funzione non è continua in un punto £$x_0$£, £$x_0$£ è punto di discontinuità. Esistono 3 tipi di discontinuità:

  • discontinuità di prima specie - "a salto": esistono finiti i limiti destro e sinistro della funzione, ma hanno due valori diversi. £$\lim\limits_{x \to x_0^-}f(x)=l_1 \ne \lim\limits_{x \to x_0^+} f(x)=l_2$£;
  • discontinuità di seconda specie: almeno uno fra il limite destro (£$\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x)$£) e sinistro (£$\lim\limits_{x \to x_0^-}f(x)$£) della funzione è infinito o non esiste;
  • discontinuità di terza specie - "eliminabile": esiste finito il limite £$l$£ della funzione nel punto £$x_0$£: £$\lim\limits_{x \to x_0} f(x)=l$£, ma la funzione o non è definita in quel punto, oppure è definita ma non è continua, ossia £$f(x_0) \ne l$£.