Quesiti - Testo

Trovi il testo dei 10 quesiti che sono stati assegnati alla seconda prova di matematica della sessione ordinaria per le scuole italiane all'estero in America della maturità 2015.

Appunti

Qual è la strategia migliore per scegliere i £$5$£ quesiti da svolgere alla seconda prova? Una vera strategia purtroppo non esiste, però puoi seguire questi consigli:

  • Leggi bene tutti i £$10$£ quesiti;
  • Accanto ad ognuno scrivi l'argomento di matematica che ti sembra utile per risolverlo;
  • Quanti di questi argomenti hai svolto e ricordi?
    • Se ci sono almeno £$5$£ quesiti in cui sai proporre una buona strategia matematica risolutiva, beh sei fortunato! Scegli quelli e inizia a svolgerli;
    • Altrimenti svolgi subito i quesiti sugli argomenti che conosci e poi concentrati sugli altri. Spesso l'argomento che hai individuato e che credi di non aver fatto a scuola è legato a qualche cosa che invece conosci: guarda le formule, analizza il testo e cerca tutti i legami possibili con gli argomenti che sai.

Scrivi sempre le tue idee e proponi strategie che ti sembrano sensate. Il tuo ragionamento, se corretto, verrà valutato positivamente, anche senza i calcoli!

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Testo del quesito 1

Determinare il volume del solido generato dalla rotazione attorno alla retta di equazione £$y=3$£ della regione di piano delimitata dalla curva di equazione £$y=x^3 -3x+3$£ e dalla retta stessa.

Testo del quesito 2

Verificare che la funzione

\[f\left( x \right) = \frac{1}{{{3^{{\textstyle{1 \over x}}}} + 1}}\]

ha una discontinuità di prima specie ("a salto"), mentre la funzione

\[f\left( x \right) = \frac{x}{{{3^{{\textstyle{1 \over x}}}} + 1}}\]

ha una discontinuità di terza specie ("eliminabile").

Testo del quesito 3

Durante il picco massimo di un'epidemia di influenza il £$15\%$£ della popolazione è a casa ammalato:

£$a)$£ qual è la probabilità che in una classe di £$20$£ alunni ce ne siano più di due assenti per influenza?

£$b)$£ descrivere le operazioni da compiere per verificare che, se l'intera scuola ha £$500$£ alunni, la probabilità che ce ne siano più di £$50$£ influenzati è maggiore del £$99\%$£ .

Testo del quesito 4

Nello spazio sono dati i due piani £$\alpha$£ e £$\beta$£ rispettivamente di equazione:

\[\begin{array}{c}{\left. \alpha \right)}&{x - 3y + z - 5 = 0}\end{array}\]

\[\begin{array}{c}{\left. \beta \right)}&{x+2y + z +3 = 0}\end{array}\]

Dopo aver determinato l'equazione parametrica della retta £$r$£ da essi individuata, verificare che essa appartiene al piano £$\gamma$£ di equazione £$3x+y-z+1=0$£.

Testo del quesito 5

Considerata la parabola di equazione £$y=4-x^2$£, nel primo quadrante ciascuna tangente alla parabola delimita con gli assi coordinati un triangolo. Determinare il punto di tangenza in modo che l'area di tale triangolo sia minima.

Testo del quesito 6

Determinare la funzione densità di probabilità di una variabile casuale continua che assume valori nell'intervallo £$[2,5]$£ con una distribuzione uniforme. Determinare inoltre il valore medio, la varianza, la deviazione standard di tale variabile e la probabilità che sia £$\frac{7}{3}\leq x\leq\frac{17}{4}$£.

Testo del quesito 7

Calcolare il valor medio della funzione

\[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{l}{x - 1}&{1 \le x \le 3}\\{{e^{x - 3}} + 1}&{3 < x \le 6}\end{array}} \right.\]

nell'intervallo £$[1,6]$£ e determinare il valore della £$x$£ in cui la funzione assume il valore medio.

Testo del quesito 8

Una sfera ha il raggio che aumenta al passare del tempo secondo una data funzione £$r(t)$£. Calcolare il raggio della sfera nell'istante in cui la velocità di crescita della superficie sferica e la velocità di crescita del raggio sono numericamente uguali.

Testo del quesito 9

In un riferimento cartesiano nello spazio £$Oxy$£, data la retta £$r$£ di equazioni:

\[\left\{ \begin{array}{l}x = 2t + 1\\y = 1 + t\\z = k{\kern 1pt} t\end{array} \right.\]

e il piano £$P$£ di equazione:

\[x + 2y - z + 2 = 0\, ,\]

determinare per quale valore di £$k$£ la retta £$r$£ e il piano £$P$£ sono paralleli, e la distanza tra di essi.

Testo del quesito 10

Scrivere l'equazione della circonferenza £$C$£ che ha il centro sull'asse £$y$£ ed è ed è tangente al grafico £$G_f$£ di £$f(x)=x^3-3{\kern 1pt}x^2$£ nel suo punto di flesso.