Problema 1 - Testo

Stai seguendo un corso, nell'ambito dell'orientamento universitario, per la preparazione agli studi di Medicina. Il docente introduce la lezione dicendo che un medico ben preparato deve disporre di conoscenze, anche matematiche, che permettano di costruire modelli ed interpretare i dati che definiscono lo stato di salute e la situazione clinica dei pazienti. Al tuo gruppo di lavoro viene assegnato il compito di preparare una lezione sul tema: "come varia nel tempo la concentrazione di un farmaco nel sangue?".

Se il farmaco viene somministrato per via endovenosa, si ipotizza per semplicità che la concentrazione del farmaco nel sangue raggiunga subito il suo valore massimo e che immediatamente inizi a diminuire, in modo proporzionale alla concentrazione stessa; nel caso che il docente ti ha chiesto di discutere, per ogni ora che passa la concentrazione diminuisce di £$\frac{1}{7}$£ del valore che aveva nell'ora precedente.

1. Individua la funzione £$y(t)$£ che rappresenta l'andamento richiesto, ipotizzando una concentrazione iniziale £$y(0)=1\frac{\mu g}{ml}$£ (microgrammi a millilitro) e rappresentala graficamente in un piano cartesiano avente in ascisse il tempo £$t$£ espresso in ore e in ordinate la concentrazione espressa in £$\frac{\mu g}{ml}$£.

Se invece la somministrazione avviene per via intramuscolare, il farmaco viene dapprima iniettato nel muscolo e progressivamente passa nel sangue. Si ipotizza pertanto che la sua concentrazione nel sangue aumenti per un certo tempo, raggiunga un massimo e poi inizi a diminuire con un andamento simile a quello riscontrato nel caso della somministrazione per via endovenosa.

2. Scegli tra le seguenti funzioni quella che ritieni più adatta per rappresentare l'andamento descritto per il caso della somministrazione per via intramuscolare, giustificando la tua scelta: \[y\left( t \right) = 1 - \frac{{{{\left( {t - 4} \right)}^2}}}{{16}}\] \[y\left( t \right) = {\mathop{\rm sen}\nolimits} \left( {3t} \right) \cdot {e^{ - t}}\] \[y\left( t \right) = - {t^3} + 3{t^2} + t\] \[y\left( t \right) = \frac{7}{2}\left( {{e^{ - {\textstyle{t \over 7}}}} - {e^{ - {\textstyle{t \over 5}}}}} \right)\]

3. Traccia il grafico della funzione scelta in un piano cartesiano avente in ascisse il tempo £$t$£ espresso in ore e in ordinate la concentrazione £$y$£ espressa in £$\frac{\mu g}{ml}$£ (microgrammi per millilitro) e descrivi le sue caratteristiche principali, in rapporto al grafico della funzione relativa alla somministrazione per via endovenosa.

Per evitare danni agli organi nei quali il farmaco si accumula è necessario tenere sotto controllo la concentrazione del farmaco nel sangue. Supponendo che in un organo il farmaco si accumuli con una velocità £$v$£, espressa in £$\frac{\mu g}{ml\cdot h}$£ (microgrammi per millilitro all'ora), proporzionale alla sua concentrazione nel sangue: \[v\left( t \right) = k \cdot y\left( t \right).\]

4. Determina la quantità totale di farmaco accumulato nell'organo nel caso della somministrazione endovenosa e di quella intramuscolare studiate in precedenza. In quale delle due l'accumulo sarà maggiore?

Il primo problema, similmente alla scelta fatta per il tema proposto agli studenti dei licei in Italia, simula un modello applicativo; in questo caso si parla di concentrazione di un farmaco nel sangue. Non ci sono in questo problema le difficoltà legate alla discretizzazione dei dati in ingresso e in uscita, perché nel caso attuale la variabile indipendente è il tempo, che qui è adeguato pensare fluente con continuità, e anche la variabile indipendente (concentrazione) può teoricamente assumere valori reali positivi qualunque.

La prima domanda si traduce in una semplice equazione differenziale a variabili separabili; trovata la soluzione, la sua rappresentazione grafica non presenta difficoltà.

La seconda domanda, spogliata della veste applicativa, chiede di riconoscere quale tra quattro funzioni assegnate ha certe proprietà qualitative che il testo descrive verbalmente; qui e anche in seguito la difficoltà (non particolarmente severa) è leggere e interpretare correttamente il testo. Il riconoscimento della funzione opportuna tra le quattro proposte è a questo punto immediato, e anche lo studio di detta funzione non dà particolari problemi. Qualche incertezza può nascere riguardo all'ultima parte della domanda £$3$£, dove si chiede di "descrivere" le caratteristiche di due funzioni studiate in precedenza, indicando le differenze tra esse; il senso della domanda è abbastanza chiaro, ma in qualche misura sconfina nel campo dell'opinabile.

La quarta e ultima domanda propone, senza dichiararlo in modo esplicito, il calcolo di due integrali. Il calcolo di questi è semplice; occorre però leggere e interpretare con attenzione il testo per comprendere che cosa ci viene richiesto.

Qui trovi gli argomenti da ripassare per affrontare al meglio il problema 1 della seconda prova di matematica della sessione ordinaria per le scuole italiane all'estero in America della maturità 2015:

• Il significato della derivata di una funzione come velocità della sua variazione
• Funzioni esponenziali e loro proprietà
• Equazioni differenziali a variabili separabili.