Esercizi interattivi sui quesiti - seconda prova matematica sessione Europa 2015

In questa lezione puoi allenarti a svolgere i 10 quesiti della seconda prova di matematica della sessione per le scuole italiane all'estero in Europa 2015!

Se hai dei dubbi non preoccuparti: ogni quesito è svolto e spiegato!

Appunti

I quesiti della seconda prova di matematica trattano quasi sempre i seguenti argomenti:

  • limiti: ripassa le forme indeterminate e i limiti notevoli;
  • derivate: ripassa come trovare i massimi e i minimi di una funzione e i principali teoremi sulle derivate;
  • integrali: ripassa come calcolare il volume dei solidi di rotazione, o l'area di una regione di piano;
  • probabilità e statistica: ripassa media, varianza, deviazione standard di variabili aleatorie e distribuzioni di probabilità;
  • geometria analitica nel piano e nello spazio: ripassa le equazioni della parabola, circonferenza, ellisse e iperbole nel piano, mentre nello spazio ripassa le equazioni di rette, piani e sfere. Riguardati le condizioni di tangenza e le principali proprietà di questi oggetti geometrici;
  • equazioni differenziali: ripassa cosa sono, come riconoscerle e come risolverle.

Allenati con gli esercizi interattivi: per ognuno trovi una soluzione spiegata passo passo!

Contenuti di questa lezione su: Esercizi interattivi sui quesiti - seconda prova matematica sessione Europa 2015

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Ripassiamo le equazioni differenziali

Un'equazione differenziale è un'equazione in cui compare una funzione £$f(x)$£ come incognita, e le sue derivate successive di qualsiasi ordine. L'ordine di un'equazione differenziale è dato dall'ordine massimo della derivata che compare nell'equazione. Esistono diversi tipi di equazione differenziale:

  • Le equazioni differenziali del tipo £$y'=f(x)$£ sono di primo ordine perché compare solo la derivata prima. Per risolvere le equazioni differenziali di primo ordinedel tipo £$y'=f(x)$£: scrivi l'equazione come £$\frac{dy}{dx}=f(x) \Rightarrow dy=f(x)dx$£ e poi risolvi integrando a destra e sinistra: £$y=\int f(x) dx.$£
  • Le equazioni differenziali a variabili separabili sono quelle che puoi scrivere come prodotto di una funzione nell'incognita £$x$£ e una nell'incognita £$y$£: £$y'=p(x)q(y)$£. Per risolvere un'equazione differenziale a variabili separabili: scriviamo £$y'=\frac{dy}{dx} \Rightarrow dy=p(x)q(y)dx$£ e poi risolviamo integrando a destra e sinistra rispetto alle due variabili: £$\int \frac{dy}{q(y)}=\int p(x) dx.$£
  • Le equazioni differenziali lineari di primo ordine sono della forma £$y'=a(x)y+b(x).$£
    La formula per risolvere un'equazione differenziale lineare di primo ordine è £$y(x)=e^{\int a(x) dx} \left[c+\int b(x)e^{-\int a(x) dx} \ dx\right].$£
  • Le equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti sono della forma £$y''+ay'+by=0$£. Per risolverle: sostituisci £$y=e^{\lambda x}$£ e le sue derivate £$y'= \lambda e^{\lambda x}$£, £$y''= \lambda^2 e^{\lambda x}$£, ... poi risolvi l'equazione caratteristica associata all'equazione differenziale £$ \lambda^2 + a \lambda+b=0$£ e trova le soluzioni a seconda del segno del £$\Delta$£ dell'equazione caratteristica:
    • £$\Delta > 0$£ £$\Rightarrow$£ £$y(x)=c_1e^{\lambda_1 x}+c_2e^{\lambda_2 x}$£;
    • £$\Delta = 0$£ £$\Rightarrow$£ £$y(x)=c_1e^{\lambda_1 x}(c_1+c_2 x)$£;
    • £$\Delta < 0$£ abbiamo due soluzioni complesse coniugate £$\alpha \pm i \beta$£ e le soluzioni dell'equazione sono: £$y(x)= e^ {\alpha x} \left[c_1 cos(\beta x)+ c_2 sen(\beta x) \right].$£